Bài tập 21, § 1

a) Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Chứng minh rằng nếu $S$ là một tập con ổn định của $G$ sao cho $\mu_*(S) > 0$, thì phần trong của $S$ là khác rỗng (xem Bài tập 20). Đặc biệt, nếu một nhóm con $H$ của $G$ có độ đo nội khác không, thì $H$ là một nhóm con mở của $G$.

b) Nếu $G$ là compact, thì mọi tập con ổn định $S$ của $G$ sao cho $\mu_*(S) > 0$ đều là một nhóm con mở compact của $G$ (nhận xét rằng phần trong của $S$ là ổn định, và sử dụng Bài tập 17 $b$) ).

c) Giả sử rằng $G$ là compact và Abel, được viết theo phép cộng, và tồn tại trong $G$ một phần tử $a$ có cấp vô hạn. Chứng minh rằng tồn tại một tập con ổn định $S$ của $G$ sao cho $a \in S, -a \notin S$ và $G = S \cup (-S)$ (sử dụng bổ đề Zorn); suy ra từ b) rằng $S$ không đo được và $\mu_*(S) = 0$.