Exercice 21, § 1

a) Soient G un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G. Montrer que si S est une partie stable de G telle que $\mu_*(S) > 0$, l'intérieur de S n'est pas vide (cf. exerc. 20). En particulier, si un sous-groupe H de G a une mesure intérieure non nulle, H est un sous-groupe ouvert de G.

b) Si G est compact, toute partie stable S de G telle que $\mu_*(S) > 0$ est un sous-groupe ouvert compact de G (observer que l'intérieur de S est stable, et utiliser l'exerc. 17 b)).

c) On suppose que G est compact et commutatif, noté additivement, et qu'il existe dans G un élément a d'ordre infini. Montrer qu'il existe une partie stable S de G telle que $a \in S, -a \notin S$, et $G = SU(-S)$ (utiliser le théorème de Zorn) ; déduire de b) que S n'est pas mesurable et que $\mu_*(S) = 0$.