Bài tập 26, § 1

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên $G$, $k$ là một số nguyên $\geq 1$, $A$ là một tập hợp khả tích. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận $U$ của $e$ trong $G$ có tính chất sau: với mọi tập con hữu hạn $S$ gồm $k$ phần tử trong $U$, tập hợp các $s \in G$ sao cho $sS \subset A$ có độ đo $\geq (1 - \varepsilon) \mu(A)$. (Rút gọn về trường hợp $A$ compact và chọn $U$ sao cho

Với mọi tập con hữu hạn $H$ của $G$, đặt $p(H) = \mathrm{Card}(H)$ và $q(H) = 1$ nếu $H \neq \varnothing$, $q(H) = 0$ nếu $H = \varnothing$; bằng cách tính các tích phân

chứng minh rằng nếu, với $h \leq k$, ký hiệu $M_h$ là tập hợp các $s \in G$ sao cho $\mathrm{Card}(A \cap sS) = h$, thì ta có

Kết luận rằng $\sum_{h=1}^{k-1} h \mu(M_h) \leq k \varepsilon \cdot \mu(A)$.