Exercice 26, § 1

Soient G un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G, $k$ un entier $\geq 1$, A un ensemble intégrable. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage U de e dans G ayant la propriété suivante : pour toute partie finie S de $k$ éléments dans U, l’ensemble des $s \in G$ tels que $sS \subset A$ a une mesure $\geq (1 - \varepsilon) \mu(A)$. (Se ramener au cas où A est compact et prendre U tel que

Pour toute partie finie H de G, on pose $p(H) = \mathrm{Card}(H)$ et $q(H) = 1$ si $H \neq \varnothing$, $q(H) = 0$ si $H = \varnothing$; en évaluant les intégrales

montrer que si, pour $h \leq k$, on désigne par $M_h$ l’ensemble des $s \in G$ pour lesquels $\mathrm{Card}(A \cap sS) = h$, on a

En conclure que $\sum_{h=1}^{k-1} h \mu(M_h) \leq k \varepsilon \cdot \mu(A)$.