Bài tập 27, § 1

Cho $G$ là một nhóm tác động trên một tập hợp $X$. Một tập con $P$ (tương ứng $C$) của $X$ được gọi là một $G$-đóng gói (tương ứng $G$-phủ) nếu, với mọi $s \neq e$ trong $G$, ta có $sP \cap P = \varnothing$ (tương ứng nếu $X = \bigcup_{s \in G} sC$).

Một $G$-lát được gọi là một tập con $P$ đồng thời là một $G$-đóng gói và một $G$-phủ.

a) Giả sử rằng $X$ là compact địa phương, rằng $G$ là đếm được, tác động liên tục trong $X$, và tồn tại một độ đo dương khác không $\mu$ trên $X$ bất biến dưới $G$. Cho $P$ và $C$ là một $G$-đóng gói và một $G$-phủ $\mu$-khả tích. Bây giờ chứng minh rằng $\mu(C) \geq \mu(P)$. (Nhận xét rằng $\mu(C) \geq \sum_{s \in G} \mu(C \cap sP)$).

b) Giả sử thêm rằng tồn tại trên $X$ một cấu trúc đều tương thích với tôpô của $X$ và nhận một hệ cơ bản $\mathscr{G}$ các lân cận mở bất biến dưới $G$. Mặt khác, gọi $\Delta(G)$ là cận dưới lớn nhất của các số $\mu(C)$ đối với mọi $G$-phủ khả tích C của $G$. Cho V là một lân cận thuộc $\mathscr{G}$, và cho $a \in X$ là sao cho $\mu(V(a)) > \Delta(G)$; bây giờ chứng minh rằng tồn tại $s \in G$ sao cho $s \neq e$ và $(a, sa) \in V^{-1} \circ V$.

c) Giả sử rằng $X$ là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái, $G$ là một nhóm con đếm được của $X$ tác động bằng phép tịnh tiến trái. Với cùng định nghĩa của $\Delta(G)$ như trong b), bây giờ chứng minh rằng, nếu A là một tập con khả tích của X sao cho $\mu(A) > \Delta(G)$, thì tồn tại $s \in G \cap AA^{-1}$ sao cho $s \neq e$. Trường hợp riêng khi $X = \mathbf{R}^n$, và khi G là một nhóm con rời rạc có hạng n trong $\mathbf{R}^n$: $\Delta(G)$ khi đó bằng giá trị tuyệt đối của định thức của một cơ sở của G trên $\mathbf{Z}$ đối với cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$; nếu A là một trường lồi đối xứng trong $\mathbf{R}^n$ sao cho $\mu(A) \geq 2^n \Delta(G)$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một điểm của $A \cap G$ phân biệt với 0 (« định lý Minkowski »).

d) Các giả thiết là những giả thiết của a), cho f là một hàm $\geq 0$ và $\mu$-khả tích trong X. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại hai điểm $a, b$ của X sao cho $\mu(C) \sum_{s \in G} f(sa) \geq \int_X f(x) d\mu(x)$ và $\mu(P) \sum_{s \in G} f(sb) \leq \int_X f(x) d\mu(x)$. (Nhận xét rằng nếu g là một hàm khả tích $\geq 0$, E là một tập hợp $\mu$-khả tích trong X, thì tồn tại $c \in E$ sao cho $\int_E g(x) d\mu(x) \leq g(c) \mu(E)$, và $c' \in E$ sao cho $\int_E g(x) d\mu(x) \geq g(c') \mu(E)$).