Exercice 27, § 1

Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'une partie P (resp. C) de X est un G-remplissage (resp. G-recouvrement) si pour tout $s \neq e$ dans G, on a $sP \cap P = \varnothing$ (resp. si $X = \bigcup_{s \in G} sC$).

On appelle G-pavage une partie P qui est à la fois un G-remplissage et un G-recouvrement.

a) On suppose que X est localement compact, que G est dénombrable, opère continûment dans X, et qu’il existe une mesure positive non nulle $\mu$ sur X invariante par G. Soient P et C un G-remplissage et un G-recouvrement qui sont $\mu$-intégrables. Montrer que $\mu(C) \geq \mu(P)$. (Remarquer que $\mu(C) \geq \sum_{s \in G} \mu(C \cap sP)$).

b) On suppose en outre qu’il existe sur X une structure uniforme compatible avec la topologie de X et admettant un système fondamental $\mathscr{G}$ d’entourages ouverts invariants par G. On désigne d’autre part par $\Delta(G)$ la borne inférieure des nombres $\mu(C)$ pour tous les G-recouvrements intégrables C de G. Soient V un entourage appartenant à $\mathscr{G}$, et $a \in X$ tel que $\mu(V(a)) > \Delta(G)$; montrer qu’il existe $s \in G$ tel que $s \neq e$ et $(a, sa) \in V^{-1} \circ V$.

c) On suppose que X est un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche, G un sous-groupe dénombrable de X opérant par translation à gauche. Avec la même définition de $\Delta(G)$ que dans b), montrer que, si A est une partie intégrable de X telle que $\mu(A) > \Delta(G)$, il existe $s \in G \cap AA^{-1}$ tel que $s \neq e$. Cas particulier où $X = \mathbf{R}^n$, et où G est un sous-groupe discret de rang n dans $\mathbf{R}^n$: $\Delta(G)$ est alors égal à la valeur absolue du déterminant d’une base de G sur $\mathbf{Z}$ par rapport à la base canonique de $\mathbf{R}^n$; si A est un corps convexe symétrique dans $\mathbf{R}^n$ tel que $\mu(A) \geq 2^n \Delta(G)$, montrer qu’il existe un point de $A \cap G$ distinct de 0 (« théorème de Minkowski »).

d) Les hypothèses étant celles de a), soit f une fonction $\geq 0$ et $\mu$-intégrable dans X. Montrer qu’il existe deux points $a, b$ de X tels que $\mu(C) \sum_{s \in G} f(sa) \geq \int_X f(x) d\mu(x)$ et $\mu(P) \sum_{s \in G} f(sb) \leq \int_X f(x) d\mu(x)$. (Observer que si g est une fonction intégrable $\geq 0$, E un ensemble $\mu$-intégrable dans X, il existe $c \in E$ tel que $\int_E g(x) d\mu(x) \leq g(c) \mu(E)$, et $c' \in E$ tel que $\int_E g(x) d\mu(x) \geq g(c') \mu(E)$).