Bài tập 14, § 3

a) Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $f$ là một hàm dương nửa liên tục dưới trên $G$, $\mu$ là một độ đo dương trên $G$. Chứng minh rằng hàm $x \to \int^* f(s^{-1}x)d\mu(s) = g(x)$ là nửa liên tục dưới trên $G$ (xem Chương IV, § 1, No. 1, Định lý 1); để $\mu$ và $f$ có thể tích chập được, điều kiện cần và đủ là $g$ khả tích đối với một độ đo Haar trái trên $G$.

b) Trên nhóm $G = \mathbf{R} \times \mathbf{R}$, cho $\mu$ là độ đo $\varepsilon_0 \otimes \lambda$, trong đó $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$; cho $f(x, y) = (1 - |xy - 2|)^+$; chứng minh rằng hàm $g(x, y) = \int f(x - s, y - t)d\mu(s, t)$ là hữu hạn tại mọi điểm trong $G$ nhưng không liên tục cũng không khả tích đối với độ đo Lebesgue trên $G$.