Bài tập 17, § 3

Ký hiệu và các quy ước là những quy ước của Bài tập 15.

a) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên $G$; để tự đồng cấu $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ của $L^p(G, \beta)$ là toàn ánh ($1 \leq p < +\infty$), điều kiện cần và đủ là tồn tại $c_p > 0$ sao cho $\|\tilde{\mu} * g\|_q \geq c_p \|g\|_q$ với mọi $g \in L^q(G, \beta)$ (trong đó $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$) (xem Esp. vect. top., chap. IV, § 5, exerc. 11).

b) Nếu $\mu$ là một độ đo cơ sở $\beta$, nếu $G$ không rời rạc, bây giờ chứng minh rằng $\gamma(\mu)$ không bao giờ là toàn ánh với $1 \leq p \leq +\infty$ (với $p < +\infty$, dùng a)), bằng cách quy về trường hợp mật độ của $\mu$ đối với $\beta$ thuộc $\mathscr{K}(G)$; với $p = +\infty$, lập luận trực tiếp bằng cách nhận thấy rằng với $f \in L^1(G, \beta)$ và $g \in L^\infty(G, \beta)$, $f * g$ là liên tục đều đối với cấu trúc đều phải).

c) Nếu $G$ là giao hoán, $1 \leq p \leq 2$ và nếu tự đồng cấu $\gamma(\mu)$ của $L^p(G, \beta)$ là toàn ánh, bây giờ chứng minh rằng nó là song ánh (dùng sự chính quy hóa, chứng minh rằng nếu $\gamma(\mu)$ không đơn ánh, thì tự đồng cấu $\gamma(\tilde{\mu})$ của $L^q(G, \beta)$ không đơn ánh: sẽ dùng chap. IV, § 6, No. 5, cor. of prop. 4).

d) Cho $G = \mathbf{Z}$ và $\mu = \varepsilon_1 - \varepsilon_0$; bây giờ chứng minh rằng $\gamma(\mu)$ là đơn ánh trong các $L^p(\mathbf{Z}, \beta)$ sao cho $p \neq +\infty$, nhưng không trong $L^\infty(\mathbf{Z}, \beta)$, và không là toàn ánh với bất kỳ giá trị nào của $p$.