Bài tập 21, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$; một cách chính tắc người ta đồng nhất $L^1(G, \beta)$ với một không gian con của $\mathscr{M}^1(G)$.

a) Với các ký hiệu của § 3, bài tập 11, cho A là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{\text{III}}$, B là một tập con của $L^1(G, \beta)$, tương đối compact trong $\mathscr{M}_{\text{IV}}$. Bây giờ chứng minh rằng hạn chế trên $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, v) \to \mu * v$ từ $\mathscr{M}_{\text{III}} \times \mathscr{M}_{\text{IV}}$ vào $\mathscr{M}_{\text{IV}}$ là liên tục. (Trước hết chứng minh rằng nếu A và B là compact, ảnh của $A \times B$ qua ánh xạ này là compact; dùng bài tập 10 của § 3, cũng như tiêu chuẩn $\alpha$) của Chương V, § 5, bài tập 17. Để chỉ ra sau đó rằng $(\mu, v) \to \mu * v$ là liên tục, dùng bài tập 11 c) của § 3.)

b) Cho $\mathscr{U}_s^\infty(G)$ là tập hợp các hàm số bị chặn và liên tục đều trên G đối với cấu trúc đều trái. Gọi $\mathscr{T}_{\text{II}}$ là tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{U}_s^\infty(G))$, và $\mathscr{M}_{\text{II}}$ là không gian $\mathscr{M}^1(G)$ được trang bị $\mathscr{T}_{\text{II}}$. Lấy $G = \mathbf{R}$, hãy cho một ví dụ về một dãy $(\mu_n)$ các độ đo trên G hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{\text{II}}$ và một dãy $(f_n)$ các hàm của $L^1(G, \beta)$, hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{\text{IV}}$ (hoặc, tương đương, đối với tôpô $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$), sao cho dãy $(\mu_n * f_n)$ không hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{\text{IV}}$ (lấy $f_n(t) = \sin nt$ trong khoảng $[0, \pi]$, $f_n(t) = 0$ ở nơi khác).

c) Cho A là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{\text{II}}$, B là một tập con của $L^1(G, \beta)$, tương đối compact đối với tôpô của chuẩn $\|f\|_1$. Bây giờ chứng minh rằng hạn chế trên $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, f) \to \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{\text{III}} \times L^1(G, \beta)$ vào $L^1(G, \beta)$ là liên tục ($L^1(G, \beta)$ được trang bị tôpô không gian chuẩn của nó). (Rút gọn về việc chứng minh rằng đối với $f \in \mathscr{K}(G)$, ánh xạ $\mu \to \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{\text{II}}$ vào $L^1(G, \beta)$ là liên tục trong A. Dùng sự kiện rằng đối với $g \in L^\infty(G, \beta)$ và $f \in \mathscr{K}(G)$, $g * f$ là liên tục đều đối với cấu trúc đều trái, trước hết chỉ ra rằng ánh xạ $\mu \to \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{\text{II}}$ vào $\mathscr{M}_{\text{IV}}$ là liên tục. Sau đó dùng bài tập 20 a), rút gọn về việc chứng minh rằng nếu C là một tập con của $L^1(G, \beta)$ compact đối với tôpô $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$ và $h \in \mathscr{K}(G)$, ánh xạ $\mu \to \mu * h$ từ C vào $L^1(G, \beta)$ là liên tục khi $L^1(G, \beta)$ được trang bị tôpô không gian chuẩn của nó. Theo cùng lập luận như trong a), chỉ ra rằng chỉ cần chứng minh rằng ảnh của C qua ánh xạ này là compact đối với tôpô không gian chuẩn là đủ. Dùng cho việc này định lý của Šmulian, sự kiện rằng C là sít chặt (§ 3, bài tập 10) và định lý Lebesgue).

d) Cho A là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{II}$ chứa 0, B là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_I$; bây giờ chứng minh rằng với mọi $v_0 \in B$ hạn chế vào $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, \nu) \to \mu * \nu$ từ $\mathscr{M}_{II} \times \mathscr{M}_I$ vào $\mathscr{M}_{II}$ là liên tục tại điểm $(0, v_0)$. (Sử dụng Bài tập 20 a), và Bài tập 8 c).)

e) Cho A là một tập con bị chặn của $\mathscr{M}^1(G)$, $f$ là một hàm của $L^1(G, \beta)$; bây giờ chứng minh rằng hạn chế vào A của ánh xạ $\mu \to \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{III}$ vào $\mathscr{M}_{IV}$ là liên tục.

f) Cho $\mathscr{M}_+^1(G)$ là tập hợp các độ đo dương bị chặn trên G. Chứng minh rằng nếu một tập con A của $\mathscr{M}_+^1(G)$ là compact đối với $\mathscr{T}_{II}$ thì nó cũng compact đối với $\mathscr{T}_{III}$. (Rút gọn về việc chứng minh rằng A là một tập hợp chặt. Lập luận bằng phản chứng, sử dụng sự kiện rằng với $f \in \mathscr{K}(G)$, ảnh của A qua ánh xạ $\mu \to \mu * f$ là một tập hợp chặt nhờ c.).)

g) Chứng minh rằng với $G = \mathbf{R}$, các tôpô cảm sinh trên $\mathscr{M}_+^1(G)$ bởi $\mathscr{T}_{II}$ và $\mathscr{T}_{III}$ là phân biệt.