Bài tập 4, § 2

Giả sử rằng $\mathbf{K}$ là một trường. (a) Hãy kiểm tra rằng tồn tại một đại số Lie 3 chiều $g$ với cơ sở $(x, y, z)$ sao cho $[x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0$. Cho $U$ là đại số bao của $g$. Chứng minh rằng tâm của $U$ là đại số con sinh bởi 1 và $z$. (Xét, với mọi $\xi \in g$, đạo hàm của đại số đối xứng $S$ của $g$ mở rộng $\mathrm{ad}_g \xi$ và tìm các phần tử của $S$ bị triệt tiêu bởi các đạo hàm này; sau đó áp dụng nhận xét cuối cùng của no. 8.) (b) Hãy kiểm tra rằng tồn tại một đại số Lie 3 chiều $g$ với cơ sở $(x, y, z)$ sao cho $[x, y] = y, [x, z] = z, [y, z] = 0$. Chứng minh rằng tâm của đại số bao của $g$ thu gọn thành các vô hướng. (Cùng phương pháp.)