Exercice 4, § 2

On suppose que K est un corps.

a) Vérifier qu’il existe une algèbre de Lie g de dimension 3 ayant une base $(x, y, z)$ telle que $[x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0$. Soit U l’algèbre enveloppante de g. Montrer que le centre de U est la sous-algèbre engendrée par 1 et z. (Considérer, pour tout $\xi \in g$, la dérivation de l’algèbre symétrique S de g qui prolonge $\mathrm{ad}_g \xi$, et chercher les éléments de S annulés par ces dérivations ; appliquer ensuite la remarque finale du n° 8).

b) Vérifier qu’il existe une algèbre de Lie g de dimension 3 ayant une base $(x, y, z)$ telle que $[x, y] = y, [x, z] = z, [y, z] = 0$. Montrer que le centre de l’algèbre enveloppante de g se réduit aux scalaires. (Même méthode.)