En effet, soit $\tau'$ l’homomorphisme unique de T dans L qui prolonge $\sigma$ et qui transforme 1 en 1. On a, pour $x, y$ dans g,

donc $\tau'$ s’annule sur J et définit par passage au quotient un homomorphisme $\tau$ de U dans L, transformant 1 en 1, tel que $\sigma = \tau \circ \sigma_0$. L’unicité de $\tau$ est immédiate puisque $\sigma_0(g)$ et 1 engendrent l’algèbre U.

Soient $g'$ une autre algèbre de Lie sur K, $U'$ son algèbre enveloppante, $\sigma'_0$ l’application canonique de $g'$ dans $U'$. Soit $\varphi$ un homomorphisme de g dans $g'$. Alors $\sigma'_0 \circ \varphi$ est une $\alpha$-application de g dans $U'$; donc il existe un homomorphisme $\tilde{\varphi}$ et un seul de U dans $U'$ transformant 1 en 1 et tel que le diagramme

soit commutatif. Cet homomorphisme transforme les éléments de U dont le terme constant est nul en éléments de $U'$ dont le terme constant est nul. Si $g''$ est une autre algèbre de Lie sur K, et si $\varphi'$ est un homomorphisme de $g'$ dans $g''$, on a $(\varphi' \circ \varphi)^{\sim} = \tilde{\varphi}' \circ \tilde{\varphi}$.

L’application σ′ : (x₁, x₂) ↦ σ₁(x₁) ⊗ 1 + 1 ⊗ σ₂(x₂) (x₁ ∈ g₁, x₂ ∈ g₂) est une α-application de g dans U₁ ⊗ₖ U₂, donc il existe (n° 1, prop. 1) un homomorphisme unique τ de U dans U₁ ⊗ₖ U₂ transformant 1 en 1, tel que :

(1)

On a φ ∘ τ ∘ σ = φ ∘ σ′ = σ, et τ ∘ φ ∘ σ′ = τ ∘ σ = σ′, donc φ ∘ τ et τ ∘ φ sont les applications identiques de U et U₁ ⊗ₖ U₂ respectivement. D’où la proposition.

On identifie U₁ ⊗ₖ U₂ à U par l’isomorphisme φ. Alors, l’application canonique de g dans U s’identifie, d’après (1), à l’application :

De façon analogue, si g₁, ..., gₙ sont des algèbres de Lie sur K, d’algèbres enveloppantes U₁, ..., Uₙ, l’algèbre enveloppante U de g₁ × ... × gₙ s’identifie canoniquement à U₁ ⊗ₖ ... ⊗ₖ Uₙ, et l’application canonique de g₁ × ... × gₙ dans U s’identifie à l’application :

(en désignant par σᵢ l’application canonique de gᵢ dans Uᵢ).

Soit $\sigma''$ l’application canonique de $g/\mathfrak{h}$ dans W. Le diagramme commutatif :

prouve que $\tilde{p}$ s’annule sur $\sigma(\mathfrak{h})$, donc sur R. Soit $\psi$ l’homomorphisme canonique de U sur U/R. Il existe un homomorphisme $\varphi$ de U/R dans W tel que $\tilde{p} = \varphi \circ \psi$. L’application $\psi \circ \sigma$ de g dans U/R est une $\alpha$-application et s’annule sur $\mathfrak{h}$, donc définit une $\alpha$-application $\theta$ de $g/\mathfrak{h}$ dans U/R telle que $\theta \circ p = \psi \circ \sigma$. On a alors $\varphi \circ \theta \circ p = \varphi \circ \psi \circ \sigma = \sigma'' \circ p$. D’où $\varphi \circ \theta = \sigma''$. Il existe (n° 1, prop. 1) un homomorphisme $\varphi'$ et un seul de W dans U/R transformant 1 en 1 et tel que $\theta = \varphi' \circ \sigma''$. Alors, $\varphi' \circ \varphi \circ \theta = \varphi' \circ \sigma'' = \theta$ et $\varphi \circ \varphi' \circ \sigma'' = \varphi \circ \theta = \sigma''$, donc $\varphi' \circ \varphi$ et $\varphi \circ \varphi'$ sont les applications identiques de U/R et W respectivement. Ceci achève la démonstration.

On identifie U/R à W par l’isomorphisme $\varphi$. Alors, l’application canonique $\sigma''$ de $g/\mathfrak{h}$ dans W s’identifie à $\theta$, c’est-à-dire à l’application de $g/\mathfrak{h}$ dans U/R déduite de $\sigma$ par passage aux quotients.

En effet, il existe un homomorphisme φ’ de U dans V^0 transformant 1 en 1 et tel que σ_0 = φ’ ∘ σ. On peut considérer φ’ comme un homomorphisme de U^0 dans V. On a σ_0 = φ’ ∘ φ ∘ σ_0, et σ = φ ∘ φ’ ∘ σ, donc φ’ ∘ φ et φ ∘ φ’ sont les applications identiques de V et U. D’où la proposition.

On identifie V à U^0 par l’isomorphisme φ. Alors, σ_0 s’identifie à σ.

Ceci posé, l’isomorphisme θ : x ↦ −x de g sur g^0 définit un isomorphisme ŝ de U sur V = U^0. Cet isomorphisme peut être considéré comme un antiautomorphisme de U. On l’appelle l’anti-automorphisme principal de U. Si x_1, ..., x_n sont dans g, on a :

(2) $\tilde{\theta}(\sigma(x_1) ... \sigma(x_n)) = \tilde{\theta}(\sigma(x_n)) ... \tilde{\theta}(\sigma(x_1)) = (-\sigma(x_n)) ... (-\sigma(x_1))$ $= (-1)^n \sigma(x_n) ... \sigma(x_1).$

Si $t \in T^n$ et $t' \in T^p$, on a $\varphi(t)\varphi(t') = \varphi(tt')$ par définition de la multiplication dans $G$. Donc $\varphi$ est un homomorphisme d’algèbres, et il est clair que $\varphi(1) = 1$. Si $x, y$ sont dans $g$, on a $x \otimes y - y \otimes x \in T^2$, et l’image canonique de cet élément dans $U_2$ est égale à celle de $[x, y]$, donc appartient à $U_1$. Donc $\varphi(x \otimes y - y \otimes x) = 0$, ce qui prouve la proposition.

Soient $S$ l’algèbre symétrique du $K$-module $g$ et $\tau$ l’homomorphisme canonique de $T$ sur $S$. La prop. 5 prouve qu’il existe un homomorphisme unique $\omega$, dit canonique, de l’algèbre $S$ sur l’algèbre $G$, transformant 1 en 1, tel que $\varphi = \omega \circ \tau$. On a $\omega(S^n) = \varphi(T^n) = G^n$. Soient $\tau_n$ la restriction de $\tau$ à $T^n$, $\omega_n$ la restriction de ω à S^n, ψ_n l’application canonique de T^n dans U_n, et θ_n l’application canonique de U_n sur G^n. La définition de ω_n prouve que le diagramme suivant est commutatif :

(3)

En effet, S est une algèbre de type fini sur K, donc un anneau noethérien (Alg. comm., chap. III, § 2, no 10, cor. 3 du th. 2). Donc G, qui est isomorphe à un anneau quotient de S, est noethérien. Donc U est noethérien à droite et à gauche (Alg. comm., chap. III, § 2, no 10, Remarque 2).

Par récurrence sur m, il suffit d’envisager le cas de deux idéaux à droite par exemple. Le U-module à droite I_1 est engendré par un nombre fini d’éléments u_1, ..., u_p (prop. 6). Soient v_1, ..., v_q des éléments de U dont les classes modulo I_2 engendrent l’espace vectoriel U/I_2. Alors les images canoniques dans I_1/I_1I_2 des u_i v_j engendrent l’espace vectoriel I_1/I_1I_2, qui est donc de dimension finie. Par suite dim_K(U/I_1I_2) = dim_K(U/I_1) + dim_K(I_1/I_1I_2) < +∞.

En effet, soit (x_λ)_{λ ∈ Λ} une base du K-module g ; munissons Λ d’une structure d’ordre total (Ens., chap. III, § 2, no 3, th. 1). Soit P l’algèbre de polynômes K[z_λ]_{λ ∈ Λ} par rapport à des lettres z_λ en correspondance biunivoque avec les x_λ. Pour toute suite M = (λ₁, λ₂, ..., λ_n) d’éléments de Λ, on désignera par z_M le monôme z_{λ₁}z_{λ₂}...z_{λ_n}, par x_M le tenseur x_{λ₁} ⊗ x_{λ₂} ⊗ ... ⊗ x_{λ_n}.

Les z_M, pour M croissante, forment une base du K-module P (on convient que ∅ est une suite croissante, et que z_∅ = 1). Soit P_p le sous-module des polynômes de degré ≤ p. Nous démontrerons d’abord plusieurs lemmes. (Pour abréger, on écrit λ ≤ M si λ ≤ μ pour tout indice μ de la suite M.)

(A_p) $f_p(x_\lambda \otimes z_M) = z_\lambda z_M$ pour $\lambda \leq M, z_M \in P_p$; (B_p) $f_p(x_\lambda \otimes z_M) - z_\lambda z_M \in P_q$ pour $z_M \in P_q, q \leq p$; (C_p) $f_p(x_\lambda \otimes f_p(x_\mu \otimes z_N)) = f_p(x_\mu \otimes f_p(x_\lambda \otimes z_N)) + f_p([x_\lambda, x_\mu] \otimes z_N)$ pour $z_N \in P_{p-1}$. (Les termes intervenant dans (C_p) ont un sens grâce à la condition (B_p).)

En outre, la restriction de f_p à g ⊗ P_{p-1} coïncide avec f_{p-1}.

La dernière assertion résulte des précédentes puisque la restriction de f_p à g ⊗_K P_{p-1} vérifie les conditions (A_{p-1}), (B_{p-1}), (C_{p-1}). Nous allons prouver l’existence et l’unicité de f_p par récurrence sur p. Pour p = 0, la condition (A_0) impose $f_0(x_\lambda \otimes 1) = z_\lambda$ et les conditions (B_0), (C_0) sont alors évidemment satisfaites. Supposons maintenant prouvées l’existence et l’unicité de f_{p-1}. Montrons que f_{p-1} admet une extension unique $f_p$ à $g \otimes_k P_p$ satisfaisant aux conditions $(A_p), (B_p), (C_p)$.

Nous devons définir $f_p(x_\lambda \otimes z_M)$ pour une suite croissante M de $p$ éléments.

Si $\lambda \leq M$, le choix est imposé par la condition $(A_p)$. Dans le cas contraire, M s’écrit de manière unique sous la forme $(\mu, N)$, où $\mu < \lambda, \mu \leq N$. Alors, $z_M = z_\mu z_N = f_{p-1}(x_\mu \otimes z_N)$ d’après $(A_{p-1})$, de sorte que le premier membre de $(C_p)$ est $f_p(x_\lambda \otimes z_M)$. Or, le deuxième membre de $(C_p)$ est déjà défini ; en effet, $(B_{p-1})$ permet d’écrire :

avec $w \in P_{p-1}$; donc le deuxième membre de $(C_p)$ devient :

Ainsi, $f_p$ est définie de manière unique, et satisfait évidemment aux conditions $(A_p)$ et $(B_p)$. La condition $(C_p)$ est satisfaite si $\mu < \lambda, \mu \leq N$. Comme $[x_\mu, x_\lambda] = -[x_\lambda, x_\mu]$, la condition $(C_p)$ est aussi satisfaite pour $\lambda < \mu, \lambda \leq N$. Comme $(C_p)$ est trivialement satisfaite pour $\lambda = \mu$, $(C_p)$ est donc satisfaite si l’on a $\lambda \leq N$ ou $\mu \leq N$. Si aucune de ces inégalités n’est vérifiée, on a $N = (\nu, Q)$, où $\nu \leq Q, \nu < \lambda, \nu < \mu$. Posant désormais pour abréger $f_p(x \otimes z) = xz$ pour $x \in g$ et $z \in P_p$, on a, d’après l’hypothèse de récurrence :

Or, $x_\mu z_Q$ est de la forme $z_\mu z_Q + w$, où $w \in P_{p-2}$. On peut appliquer $(C_p)$ à $x_\lambda(x_\nu(z_\mu z_Q))$ parce que $\nu \leq Q$ et $\nu < \mu$, et à $x_\lambda(x_\nu w)$ en vertu de l’hypothèse de récurrence, donc à $x_\lambda(x_\nu(x_\mu z_Q))$. D’où :

En échangeant $\lambda$ et $\mu$, et retranchant membre à membre :

soit, en vertu de l’identité de Jacobi

ce qui achève la démonstration du lemme 1.

$1^\circ$ $\sigma(x_\lambda)z_M = z_\lambda z_M$ pour $\lambda \leq M$; $2^\circ$ $\sigma(x_\lambda)z_M \equiv z_\lambda z_M$ (mod. $P_p$) si $M$ a $p$ éléments.

En effet, d’après le lemme 1, il existe un homomorphisme $f$ du K-module $g \otimes_K P$ dans $P$ vérifiant, quel que soit $p$, les conditions (A_p), (B_p), (C_p) (où l’on remplace $f_p$ par $f$). Cet homomorphisme définit un homomorphisme $\sigma$ du K-module $g$ dans le K-module $\mathscr{L}_K(P)$, et $\sigma$ est une $\alpha$-application à cause de la condition (C_p). Enfin, $\sigma$ vérifie les propriétés $1^\circ$ et $2^\circ$ du lemme à cause des conditions (A_p) et (B_p).

En effet, écrivons $t_n$ sous la forme $\sum_{i=1}^r x_{M_i}$, où les $M_i$ sont des suites de $n$ éléments de $\Lambda$. L’application $\sigma$ se prolonge en un homomorphisme de l’algèbre $T$ dans l’algèbre $\mathscr{L}_K(P)$ (que nous noterons encore $\sigma$), qui s’annule sur $J$. D’après le lemme 2, $\sigma(t).1$ est un polynôme dont les termes de plus haut degré sont $\sum_{i=1}^r z_{M_i}$. Comme $t \in J$, on a $\sigma(t) = 0$, donc $\sum_{i=1}^r z_{M_i} = 0$ dans $P$. Or, $P$ s’identifie canoniquement à $S$, grâce à la donnée de la base $(x_\lambda)$ de $g$. Donc l’image canonique de $t_n$ dans $S$ est nulle, c’est-à-dire que $t_n \in I$.

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1. Il faut prouver que l’homomorphisme canonique de $S$ sur $G$ est injectif. Autrement dit, si $t \in T^n$ et si $\psi$ désigne l’homomorphisme canonique de $T$ sur $U$, il faut montrer que la condition $\psi(t) \in U_{n-1}$ entraîne $t \in I$. Or $\psi(t) \in U_{n-1}$ signifie qu’il existe un tenseur $t' \in T_{n-1}$ tel que $t - t' \in J$. Le tenseur $t - t'$ admet $t$ pour composante homogène d’ordre $n$, donc $t \in I$ d’après le lemme 3.

En effet, la restriction à W de ω_n ∘ τ_n est une bijection de W sur G^n ; il en est donc de même de la restriction de θ_n ∘ ψ_n à W. D’où le corollaire.

Ceci résulte du cor. 1, où l’on prend W = T^1.

Lorsque g est un K-module libre (en particulier lorsque K est un corps), on identifie g à un sous-module de U par l’application canonique de g dans U. Cette convention est adoptée dès le corollaire suivant.

Soit Λ_n l’ensemble des suites croissantes de n éléments de Λ. Pour M = (λ_1, ..., λ_n) ∈ Λ_n, soit y_M = x_{λ_1} ⊗ x_{λ_2} ⊗ ... ⊗ x_{λ_n}. Soit W le sous-module de T^n qui admet pour base (y_M)_{M ∈ Λ_n}. Le cor. 1 montre que la restriction de ψ_n à W est un isomorphisme de W sur un supplémentaire de U_{n-1} dans U_n. Or, ψ_n(y_M) = x_{λ_1} x_{λ_2} ... x_{λ_n}, d’où le corollaire.

Ceci résulte du cor. 1, où l’on prend W = S'^n.

Supposons toujours que K soit un corps de caractéristique 0.

Soit $\eta_n$ l’application de $S^n$ dans $U_n$ qu’on vient de définir. Soit $U^n = \eta_n(S^n)$. L’espace vectoriel $U$ est somme directe des $U^n$. Les $\eta_n$ définissent un isomorphisme $\gamma$ de l’espace vectoriel $S = \sum_n S^n$ sur l’espace vectoriel $U = \sum_n U^n$, appelé isomorphisme canonique de S sur U ; ce n’est pas un isomorphisme d’algèbre. On a le diagramme commutatif :

où chaque flèche représente un isomorphisme d’espaces vectoriels. Si $x_1, x_2, \ldots, x_n$ sont dans $g$, $\eta_n$ transforme le produit $x_1 x_2 \ldots x_n$, calculé dans $S$, en l’élément $\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} x_{\sigma(1)} x_{\sigma(2)} \ldots x_{\sigma(n)}$ calculé dans $U$.

a) L’homomorphisme canonique de $U'$ dans $U$ est injectif.

b) Si $M$ est totalement ordonné, les éléments $y_{\beta_1} \ldots y_{\beta_q}$, où $\beta_1 \leq \cdots \leq \beta_q$, forment une base de $U$ considéré comme module à gauche ou à droite sur $U'$.

Munissons $L \cup M$ d’une structure d’ordre total telle que tout élément de $L$ soit majoré par tout élément de $M$. Les éléments $x_{\alpha_1} x_{\alpha_2} \ldots x_{\alpha_p}$ calculés dans $U'$ (où $\alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_p$) forment une base de $U'$ (cor. 3). Les éléments $x_{\alpha_1} \ldots x_{\alpha_p} y_{\beta_1} \ldots y_{\beta_q}$ calculés dans $U$ (où $\alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_p \leq \beta_1 \leq \cdots \leq \beta_q$) forment de même une base de $U$. Donc l’homomorphisme canonique de $U'$ dans $U$ transforme les éléments d’une base de $U'$ en éléments linéairement indépendants de $U$, et par suite est injectif. On voit en outre que les $y_{\beta_1} \ldots y_{\beta_q}$ (où $\beta_1 \leq \cdots \leq \beta_q$) forment une base de $U$ considéré comme $U'$-module à gauche. En ordonnant $L \cup M$ de façon que tout élément de $M$ soit majoré par tout élément de $L$, on voit de même que les $y_{\beta_1} \ldots y_{\beta_q}$ (où $\beta_1 \leq \cdots \leq \beta_q$) forment une base de $U$ considéré comme $U'$-module à droite.

Dans les conditions du cor. 5, on identifie U' à la sous-algèbre de U engendrée par h, grâce à l’homomorphisme canonique de U' dans U.

Soit (xᵢλ)λ∈Lᵢ une base de gᵢ. Ordonnons totalement L₁ ∪ ... ∪ Lₙ de telle manière que tout élément de Lᵢ majore tout élément de Lⱼ pour i ≥ j. Alors les éléments :

où λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λₚ ≤ ... ≤ ν₁ ≤ ν₂ ≤ ... ≤ ν_q, constituent une base de U₁ ⊗ₖ ... ⊗ₖ Uₙ. Ils sont transformés par φ en les éléments :

qui constituent une base de U. D’où le corollaire.

En effet, G est isomorphe à une algèbre de polynômes sur K (th. 1), donc est intègre (Alg., chap. IV, § 1, no 4, th. 1). D’où le corollaire (Alg. comm., chap. III, § 2, no 3, prop. 1).

Soit F = V × V × ... × V (n facteurs). L’application

de F dans $\bigotimes^n V$ est multilinéaire. Donc il existe un endomorphisme $u_n$ de $\bigotimes^n V$ tel que :

quels que soient $x_1, \ldots, x_n$ dans V. On a $u_1 = u$. Soit $v$ l’endomorphisme du K-module T qui coïncide avec $u_n$ sur chaque $T^n = \bigotimes^n V$, et qui s’annule dans $T^0 = K.1$. Montrons que $v$ est une dérivation de T. Si $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_p$ sont des éléments de V, on a

Par linéarité, on en déduit bien que $v$ est une dérivation. L’unicité de $v$ est évidente. Enfin, il est clair que $u_n$ permuté aux opérateurs de symétrie dans $\bigotimes^n V$, d’où la dernière assertion.

a) *Il existe une dérivation $D_U$ de U et une seule telle que $\sigma \circ D = D_U \circ \sigma$ (c’est-à-dire telle que $D_U$ prolonge D, quand on peut identifier g à un sous-module de U par $\sigma$).

b) $D_U$ laisse stables $U_n$ et l’ensemble $U^n$ des images dans U des tenseurs symétriques homogènes d’ordre n sur g.

c) $D_U$ commute à l’antiautomorphisme principal de U.

d) *Si D est la dérivation intérieure de g définie par un élément x de g, $D_U$ est la dérivation intérieure de U définie par $\sigma(x)$.

En effet, soit $D_T$ la dérivation de l’algèbre tensorielle T de g qui prolonge D (lemme 4). L’idéal bilatère J de T engendré par les $x \otimes y - y \otimes x - [x, y]$ ($x, y$ dans g) est stable pour $D_T$. En effet :

Par passage aux quotients, $D_T$ définit une dérivation $D_U$ de $U$, telle que $\sigma \circ D = D_U \circ \sigma$. L’unicité de $D_U$ est immédiate, puisque 1 et $\sigma(g)$ engendrent l’algèbre $U$. L’assertion b) est évidente. Soit $A$ l’antiautomorphisme principal de $U$, et prouvons c). Si $x_1, \ldots, x_n$ sont dans $g$, on a

Enfin, soit $x \in g$. Soit $\Delta$ la dérivation intérieure $y \mapsto \sigma(x)y - y\sigma(x)$ de $U$ (Alg., chap. IV, § 4, no 3, exemple 2). On a, pour $x' \in g$,

Ceci achève la démonstration.

Appliquant la prop. 7 au cas d’une algèbre de Lie commutative, on voit que tout endomorphisme $u$ d’un $K$-module se prolonge de manière unique en une dérivation de l’algèbre symétrique de ce module ; cette dérivation se déduit par passage aux quotients de la dérivation de l’algèbre tensorielle qui prolonge $u$.

Reprénons une algèbre de Lie $g$ sur $K$, et soit $D$ une dérivation de $g$. Utilisons les notations $T, S, U, G$ antérieures. Soient $D_T, D_S$ les dérivations de $T, S$ qui prolongent $D$, et soit $D_U$ la dérivation unique de $U$ telle que $\sigma \circ D = D_U \circ \sigma$. Puisque $D_U$ laisse stables les $U_n$, $D_U$ définit par passage aux quotients une dérivation $D_G$ de $G$. Puisque $D_U$ et $D_S$ se déduisent de $D_T$ par passage aux quotients, le diagramme commutatif (3) prouve que $D_G$ peut aussi se déduire de $D_S$ par l’homomorphisme $\omega$ défini au no 6. Si en outre $K$ est un corps de caractéristique 0, les isomorphismes du diagramme (4) transforment entre elles les restrictions de $D_T, D_S, D_U, D_G$ à $S^n, S^n, U^n, G^n$. Donc l’isomorphisme canonique de $S$ sur $U$ transforme $D_S$ en $D_U$.