§ 3. Représentations

1. Représentations

Définition 1

Soient g une algèbre de Lie sur K, et M un K-module. Un homomorphisme de g dans l’algèbre de Lie gl(M) s’appelle une représentation de g dans le module M. Une représentation injective est dite fidèle. Si K est un corps, la dimension (finie ou infinie) de M sur K s’appelle la dimension de la représentation. La représentation $x \mapsto \mathrm{ad}\, x$ de g dans le K-module g s’appelle la représentation adjointe de g.

Une représentation de g dans M est donc une application K-linéaire $\rho$ de g dans le module des endomorphismes de M telle que

\rho([x, y]) \cdot m = \rho(x)\rho(y) \cdot m - \rho(y)\rho(x) \cdot m

quels que soient

x \in g, y \in g, m \in M

Exemple. — Soient G un groupe de Lie réel, g son algèbre de Lie, θ une représentation analytique de G dans un espace vectoriel réel E de dimension finie. Alors l’homomorphisme correspondant de g dans gl(E) est une représentation de g dans E.

Soit U l’algèbre enveloppante de g. La proposition 1 du § 2, no 1 définit une correspondance biunivoque entre l’ensemble des représentations de g dans M et l’ensemble des représentations de U dans M. On sait d’autre part (Alg., chap. VIII, § 13, no 1) qu’il y a équivalence entre la notion de représentation de l’algèbre associative U et celle de U-module à gauche.

Définition 2

Soient g une algèbre de Lie sur K, et U son algèbre enveloppante. Un module unitaire à gauche sur U est appelé un g-module à gauche, ou simplement un g-module.

Si M est un g-module, et si x ∈ U, on notera $x_M$ l’homothétie de M définie par x (cf. Alg., chap. VIII, § 1, no 2).

Un module unitaire à droite sur U s’appelle un g-module à droite. Un tel module s’identifie à un U⁰-module à gauche, c’est-à-dire (§ 2, no 4) à un g⁰-module à gauche.

Soit φ l’antiautomorphisme principal de U. Si M est un g-module à droite, on définit sur M une structure de g-module à gauche en posant $a.m = m.\varphi(a)$ pour $m \in M$ et $a \in U$ .

On peut traduire en langage de représentations les notions et résultats de la théorie des modules :

1) Deux représentations ρ et ρ’ de g dans M et M’ sont dites semblables ou isomorphes si les g-modules M et M’ sont isomorphes. Pour cela, il faut et il suffit qu’il existe un isomorphisme u du K-module M sur le K-module M’ tel que :

\rho'(x) = u \circ \rho(x) \circ u^{-1}

quel que soit $x \in g$ .

2) Pour tout $i \in I$ , soit $\rho_i$ une représentation de g dans $M_i$ . Soit M le g-module somme directe des g-modules $M_i$ . Il lui correspond une représentation $\rho$ de g dans M, appelée somme directe des ρ_i et notée $\sum_{i \in I} \rho_i$ (où $\rho_1 + \cdots + \rho_n$ dans le cas de $n$ représentations $\rho_1, \ldots, \rho_n$ ). Si $m = (m_i)_{i \in I}$ est un élément de M, et si $x \in g$ , on a $\rho(x).m = (\rho_i(x).m_i)_{i \in I}$ .

3) Une représentation $\rho$ de g dans M est dite simple ou irréductible si le g-module associé est simple. Il revient au même de dire qu’il n’existe pas de sous-K-module de M (autre que $\{0\}$ et M) stable pour tous les $\rho(x), x \in g$ . Une classe de g-modules simples (Alg., chap. VIII, § 3, no 2) définit une classe de représentations simples de g.

4) Une représentation $\rho$ de g dans M est dite semi-simple ou complètement réductible si le g-module associé est semi-simple. Il revient au même de dire que $\rho$ est semblable à une somme directe de représentations simples, ou que tout sous-K-module de M stable pour les $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) possède un supplémentaire stable pour les $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) (cf. Alg., chap. VIII, § 3, no 3).

5) Soit $\delta$ une classe de représentations simples de g, correspondant à une classe C de g-modules simples. Soit d’autre part $\rho$ une représentation de g dans M. Le composant isotypique $M_c$ d’espèce C du g-module M (Alg., chap. VIII, § 3, no 4) s’appelle aussi le composant isotypique d’espèce $\delta$ de M. Ce composant est la somme des sous-K-modules de M stables pour les $\rho(x)$ et dans lesquels les $\rho(x)$ induisent une représentation de classe $\delta$ ; il est somme directe de certains de ces sous-modules; si $M_c$ est de longueur $n$ , on dit que $\rho$ contient $n$ fois $\delta$ . La somme des différents $M_c$ est directe; elle est égale à M si et seulement si $\rho$ est semi-simple.

6) Soient $\rho, \rho'$ deux représentations de g. On dit que $\rho'$ est une sous-représentation (resp. une représentation quotient) de $\rho$ si le module de $\rho'$ est un sous-module (resp. un module quotient) du module de $\rho$ .

Soit M un K-module. La représentation nulle de g dans M définit sur M une structure de g-module. Muni de cette structure, M est appelé un g-module trivial.

Soit M un g-module. Les g-modules quotients des sous-g-modules de M sont aussi les sous-g-modules des modules quotients de M : ils s’obtiennent en considérant deux sous-g-modules U, U’ de M tels que U ⊃ U’ et en formant le g-module U/U’. Ceci posé, si tous les modules simples du type précédent sont isomorphes à un g-module simple donné N, on dit que M est un g-module pur d’espèce N. Si ρ et σ sont les représentations de g correspondant à M et N, on dit aussi que ρ est pure d’espèce σ.

Soit M’ un sous-g-module de M. Pour que M soit pur d’espèce N, il faut et il suffit que M’ et M/M’ soient purs d’espèce N. En effet, la condition est évidemment nécessaire. Supposons-la vérifiée; et soient U, U’ des sous-g-modules de M tels que U’ ⊂ U et que U/U’ soit simple ; soit φ l’homomorphisme canonique de M sur M/M’ ; si φ(U) ≠ φ(U’), U/U’ est isomorphe à φ(U)/φ(U’), donc isomorphe à N ; si φ(U) = φ(U’), on a U ⊂ U’ + M’, donc U/U’ est isomorphe à un sous-module simple de (U’ + M’)/U’, et ce dernier module est lui-même isomorphe à M’/(U’ ∩ M’) ; donc U/U’ est encore isomorphe à N, de sorte que M est pur d’espèce N.

Soit toujours M un g-module, et supposons que l’ensemble des sous-g-modules de M qui sont purs d’espèce N admette un élément maximal M’. Alors, tout sous-module M’’ de M qui est pur d’espèce N est contenu dans M’. En effet, M’’/(M’ ∩ M’’) et M’ sont purs d’espèce N, donc M’ + M’’ est pur d’espèce N d’après ce qui précède, donc M’ + M’’ ⊂ M’.

Supposons que le g-module M admette une suite de Jordan-Hölder (M_i)_{0 \leq i \leq n}. Pour que M soit pur d’espèce N, il faut et il suffit que M_0/M_1, M_1/M_2, ..., M_{n-1}/M_n soient isomorphes à N ; en effet, la condition est évidemment nécessaire ; sa suffisance résulte aussitôt, par récurrence sur n, de ce qu’on a vu plus haut.

Proposition 1

Soient g une algèbre de Lie sur K, et a un idéal de g. Soient M un g-module, et N un a-module simple. Considérons M comme un a-module et supposons que l’ensemble des sous-a-modules de M qui sont purs d’espèce N admette un élément maximal M’. Alors M’ est un sous-g-module de M.

Soit y \in g. Soient φ l’application canonique de M sur M/M’, et f l’application m \mapsto φ(y_M.m) de M’ dans M/M’. Il suffit de montrer que f(M’) = \{0\}. Soit x \in a. Pour m \in M, on a

x_{M/M’} . f(m) = φ(x_M y_M . m) = φ(y_M x_M . m) + φ([x, y]_M . m).

Or, $[x, y] \in \alpha$ , d’où $\varphi([x, y]_M \cdot m) = 0$ ; par ailleurs, $\varphi(y_M x_M \cdot m) = f(x_M \cdot m)$ . Donc $x_{M/M'} \cdot f(m) = f(x_M \cdot m)$ . Il en résulte que $f(M')$ est un sous- $\alpha$ -module de $M/M'$ isomorphe à un quotient de $M'$ , donc pur d’espèce $N$ ; d’où $f(M') = \{0\}$ .

Corollaire

Soient $g$ une algèbre de Lie sur $K$ , et $\alpha$ un idéal de $g$ . Soit $M$ un $g$ -module simple, de longueur finie en tant que $K$ -module. Il existe un $\alpha$ -module simple $N$ tel que $M$ soit un $\alpha$ -module pur d’espèce $N$ .

Puisque le $\alpha$ -module $M$ est de longueur finie, il existe un élément minimal $N$ dans l’ensemble des sous- $\alpha$ -modules de $M$ : c’est un sous- $\alpha$ -module simple de $M$ . Le plus grand sous- $\alpha$ -module de $M$ qui est pur d’espèce $N$ est alors $\neq \{0\}$ , et est un sous- $g$ -module de $M$ (prop. 1), donc est identique à $M$ .

2. Produit tensoriel de représentations

Nous avons défini, au n° 1, la somme directe d’une famille de représentations de $g$ . Nous allons maintenant définir d’autres opérations sur les représentations.

Soient $g_1$ , $g_2$ deux algèbres de Lie sur $K$ , et $M_i$ un $g_i$ -module ( $i = 1, 2$ ). Soient $U_i$ l’algèbre enveloppante de $g_i$ , et $\sigma_i$ l’application canonique de $g_i$ dans $U_i$ . Alors $M_i$ est un $U_i$ -module à gauche, donc $M_1 \otimes_K M_2$ est canoniquement muni d’une structure de $(U_1 \otimes_K U_2)$ -module à gauche. Or $U_1 \otimes_K U_2$ est l’algèbre enveloppante de $g_1 \times g_2$ , et l’application $(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)$ est l’application canonique de $g_1 \times g_2$ dans cette algèbre enveloppante (§ 2, n° 2). Donc il existe une structure de $(g_1 \times g_2)$ -module sur $M = M_1 \otimes_K M_2$ telle que :

\begin{align*} (x_1, x_2)_M \cdot (m_1 \otimes m_2) &= (\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot (m_1 \otimes m_2) \\ &= ((x_1)_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes ((x_2)_{M_2} \cdot m_2). \end{align*}

Cette structure définit une représentation de $g_1 \times g_2$ dans $M$ .

Si maintenant $g_1 = g_2 = g$ , l’homomorphisme $x \mapsto (x, x)$ de $g$ dans $g \times g$ , composé avec la représentation précédente, définit une représentation de g dans M, donc une structure de g-module sur M, telle que :

(2) $x_M \cdot (m_1 \otimes m_2) = (x_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes (x_{M_2} \cdot m_2).$

Par un raisonnement analogue, on voit que :

Proposition 2

Soient g une algèbre de Lie sur K, et $M_i$ un g-module ( $1 \leq i \leq n$ ). Dans le produit tensoriel $M_1 \otimes_K M_2 \otimes \cdots \otimes_K M_n$ il existe une structure de g-module et une seule telle que

(3) $x_M \cdot (m_1 \otimes \cdots \otimes m_n) = \sum_{i=1}^n m_1 \otimes \cdots \otimes (x_{M_i} \cdot m_i) \otimes \cdots \otimes m_n$

quels que soient $x \in g, m_1 \in M_1, \ldots, x_n \in M_n$ .

La représentation correspondante s’appelle le produit tensoriel des représentations données de g dans les $M_i$ .

En particulier, si M est un g-module, la prop. 2 définit une structure de g-module sur chaque $M_p = \bigotimes^p M$ , donc dans l’algèbre tensorielle T de M.

La formule (3) montre que, pour tout $x \in g$ , $x_T$ est l’unique dérivation de l’algèbre T qui prolonge $x_M$ . On sait (§ 2, no 8) que $x_T$ définit par passage aux quotients une dérivation de l’algèbre symétrique S de M. Donc S peut être considéré comme un g-module quotient de T, et les $x_S$ sont des dérivations de S.

Plus particulièrement encore, considérons g comme un g-module grâce à la représentation adjointe de g. Soit U l’algèbre enveloppante de g. D’après la prop. 7 du § 2, $x_M$ définit par passage aux quotients une dérivation de U qui n’est autre que la dérivation intérieure définie par $\sigma(x)$ ( $\sigma$ désignant l’application canonique de g dans U). Donc U peut être considéré comme un g-module quotient de T. Si K est un corps de caractéristique 0, l’isomorphisme canonique de S sur U est un isomorphisme de g-modules (§ 2, no 8).

3. Représentations dans des modules d’homomorphismes

Soient encore $g_1$ et $g_2$ deux algèbres de Lie sur K, et $M_i$ un $g_i$ -module ( $i = 1, 2$ ). Soient $U_i$ l’algèbre enveloppante de $g_i$ , et $\sigma_i$ l’application canonique de $g_i$ dans $U_i$ . Alors $M_i$ est un $U_i$ -module à gauche, donc $\mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ est canoniquement muni d’une structure de $(U_1^0 \otimes U_2)$ -module à gauche. Or, $U_1^0 \otimes_K U_2$ est l’algèbre enveloppante de $g_1^0 \times g_2$ , et l’application

(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)

est l’application canonique de $g_1^0 \times g_2$ dans cette algèbre enveloppante. Donc il existe une structure de $(g_1^0 \times g_2)$ -module sur $M = \mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ telle que

((x_1, x_2)_M \cdot u) \cdot m_1 = ((\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot u) \cdot m_1 \\ = u((x_1)_{M_1} \cdot m_1) + (x_2)_{M_2} \cdot u(m_1)

quels que soient $u \in \mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ , $m_1 \in M_1$ . Cette structure définit une représentation de $g_1^0 \times g_2$ dans $M$ .

Si maintenant $g_1 = g_2 = g$ , l’homomorphisme $x \mapsto (-x, x)$ de $g$ dans $g^0 \times g$ , composé avec la représentation précédente, définit une représentation de $g$ dans $M$ , donc une structure de $g$ -module sur $M$ , telle que

(x_M \cdot u) \cdot m_1 = x_{M_2} \cdot u(m_1) - u(x_{M_1} \cdot m_1)

x_M \cdot u = x_{M_2} u - u x_{M_1}.

En combinant ce résultat avec la prop. 2, on voit que :

Proposition 3

Soient $g$ une algèbre de Lie sur $K$ , et $M_i$ un $g$ -module ( $1 \leq i \leq n+1$ ). Soit $N$ le $K$ -module $\mathscr{L}_K(M_1, \ldots, M_n ; M_{n+1})$ des applications multilinéaires de $\prod_{i=1}^n M_i$ dans $M_{n+1}$ . Il existe une structure de $g$ -module et une seule sur $N$ telle que

(x_N \cdot u)(m_1, \ldots, m_n) = - \sum_{i=1}^n u(m_1, \ldots, x_{M_i} \cdot m_i, \ldots, m_n) \\ + x_{M_{n+1}} \cdot u(m_1, \ldots, m_n)

quels que soient $x \in g$ , $u \in N$ et les $m_i \in M_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ).

En particulier, soient $g$ une algèbre de Lie sur $K$ , $M$ un $g$ -module. Considérons d’autre part $K$ comme un $g$ -module trivial.

La prop. 3 définit dans $\mathscr{L}_K(M, K) = M^*$ une structure de g-module. La représentation correspondante est appelée représentation duale de la représentation $x \mapsto x_M$ . On a :

(8)

(x_{M^*} \cdot f)(m) = -f(x_M \cdot m)

quels que soient

x \in g, f \in M^*, m \in M

. Autrement dit :

(9)

x_{M^*} = -{}^t x_M.

Lorsque K est un corps et que M est de dimension finie, le g-module M est simple (resp. semi-simple) si et seulement si le g-module $M^*$ est simple (resp. semi-simple).

Proposition 4

Soient* $M_1, M_2$ deux g-modules. Les applications K-linéaires canoniques (Alg., chap. II, 3e éd., § 4, no 2, prop. 2 et no 1, prop. 1) :

M_1^* \otimes_K M_2 \xrightarrow{\varphi} \mathscr{L}_K(M_1, M_2), \quad \mathscr{L}_K(M_1, M_2^*) \xrightarrow{\psi} (M_1 \otimes_K M_2)^*

(où la deuxième est bijective) sont des homomorphismes de g-modules.

Posons

N = M_1^* \otimes M_2, \quad P = \mathscr{L}(M_1, M_2), \quad Q = \mathscr{L}(M_1, M_2^*), \quad R = (M_1 \otimes M_2)^*.

On a, pour

x \in g, f \in M_1^*, m_1 \in M_1, m_2 \in M_2

((\varphi x_N)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = (\varphi(x_{M_1^*} f \otimes m_2 + f \otimes x_{M_2} m_2)) \cdot m_1 \\ = \langle x_{M_1^*} f, m_1 \rangle m_2 + \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2

((x_P \varphi)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = x_{M_2}(\varphi(f \otimes m_2) \cdot m_1) - \varphi(f \otimes m_2)(x_{M_1} m_1) \\ = \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2 - \langle f, x_{M_1} m_1 \rangle m_2

donc

\varphi x_N = x_P \varphi

. D’autre part, pour

x \in g, u \in \mathscr{L}(M_1, M_2^*), m_1 \in M_1, m_2 \in M_2

, on a :

(\psi x_Q u)(m_1 \otimes m_2) = \langle (x_Q u) \cdot m_1, m_2 \rangle = \langle x_{M_2^*} u m_1 - u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle

(x_R \psi u)(m_1 \otimes m_2) = -\langle \psi u, x_{M_1} m_1 \otimes m_2 + m_1 \otimes x_{M_2} m_2 \rangle \\ = -\langle u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle - \langle u m_1, x_{M_2} m_2 \rangle

donc

\psi x_Q = x_R \psi

, ce qui achève la démonstration.

On identifie les g-modules $\mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ et $(M_1 \otimes M_2)^*$ par l’isomorphisme $\psi$ . Si $M_1$ et $M_2$ ont des bases finies, $\varphi$ est un isomorphisme (Alg., chap. II, 3e éd., , n° 2, prop. 2), qui permet d’identifier les g-modules $M_1^* \otimes M_2$ et $\mathscr{L}(M_1, M_2)$ ; dans ce cas, on peut donc identifier les g-modules $M_1^* \otimes M_2^*$ , $\mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ et $(M_1 \otimes M_2)^*$

4. Exemples

Exemple 1

Soient g une algèbre de Lie sur K, M un g-module. La structure de g-module de M et la structure de g-module trivial de K définissent une structure de g-module sur le K-module $N = \mathscr{L}(M, M; K)$ des formes bilinéaires sur M. On a

(x_N.\beta)(m, m') = -\beta(x_M.m, m') - \beta(m, x_M.m')

quels que soient

x \in g

m, m'

dans M,

\beta \in N

. Si

\beta

est un élément donné de N, l’ensemble des

x \in g

tels que

x_N.\beta = 0

est une sous-algèbre de g.

Soient M un K-module, $\beta$ une forme bilinéaire sur M. D’après ce qui précède, l’ensemble des $x \in \mathrm{gl}(M)$ tels que

\beta(x.m, m') + \beta(m, x.m') = 0

quels que soient

m \in M

m' \in M

est une sous-algèbre de Lie de

\mathrm{gl}(M)

. Supposons que K soit un corps, que M soit de dimension finie sur K, et que

\beta

soit non dégénérée. Alors, tout

x \in \mathrm{gl}(M)

admet un adjoint à gauche

x^*

partout défini (relativement à

\beta

), et la sous-algèbre considérée est l’ensemble des

x \in \mathrm{gl}(M)

tels que

x^* = -x

. On peut construire par ce procédé deux exemples importants d’algèbres de Lie :

a) Prenons $M = K^n$ , et

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_n), (\eta_1, \ldots, \eta_n)) = \xi_1 \eta_1 + \cdots + \xi_n \eta_n.

Identifions canoniquement

\mathrm{gl}(K^n)

\mathbf{M}_n(K)

. Alors, l’algèbre de Lie obtenue est l’algèbre de Lie des matrices antisymétriques. *(Lorsque

K = \mathbf{R}

, cette algèbre est l’algèbre de Lie du groupe orthogonal

\mathbf{O}(n, \mathbf{R})

b) Prenons $M = K^{2m}$ , et

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_{2m}), (\eta_1, \ldots, \eta_{2m})) = \xi_1 \eta_{m+1} - \eta_1 \xi_{m+1} + \cdots + \xi_m \eta_{2m} - \eta_m \xi_{2m}.

La matrice de

\beta

par rapport à la base canonique de

K^{2m}

est la matrice

\begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}

. Soit

U = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

la matrice par rapport à la base canonique de

K^{2m}

d’un élément

u

\mathrm{gl}(M)

(

A, B, C, D

dans

\mathbf{M}_m(K)

). D’après la formule (50) d’Alg., chap. IX, § 1, no 10,

u^*

admet par rapport à la même base la matrice

\begin{pmatrix} 0 & -I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {}^tA & {}^tC \\ {}^tB & {}^tD \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^tD & -{}^tB \\ -{}^tC & {}^tA \end{pmatrix}.

La condition

u^* = -u

équivaut donc aux conditions

D = -{}^tA \quad B = {}^tB \quad C = {}^tC.

*Lorsque

K = \mathbf{R}

, l’algèbre de Lie obtenue est l’algèbre de Lie du groupe symplectique

\mathbf{Sp} (2m, \mathbf{R})

Exemple 2

Conservons les notations de l’exemple 1. La structure de g-module de M définit dans le K-module $P = \mathscr{L}_K(M, M)$ des endomorphismes de M une structure de g-module. D’après (6), on a, quels que soient $x \in g$ , et $u \in P$ :

(11)

x_P \cdot u = [x_M, u] = (\operatorname{ad} x_M) \cdot u

\operatorname{ad} x_M

désignant l’image de

x_M

dans la représentation adjointe de

\mathrm{gl}(M)

. Autrement dit :

(12)

x_P = \operatorname{ad} x_M

dans

\mathscr{L}(\mathscr{L}(M, M)) = \mathscr{L}(\mathrm{gl}(M))

5. Éléments invariants

Définition 3

Soient g une algèbre de Lie, M un g-module. Un élément $m \in M$ est dit invariant (pour la structure de g-module de M, ou pour la représentation correspondante de g) si $x_M \cdot m = 0$ pour tout $x \in g$ .

Soient G un groupe de Lie réel connexe, g son algèbre de Lie, $\theta$ une représentation analytique de G dans un espace vectoriel réel E de dimension finie, $\rho$ la représentation correspondante de g dans E. Soit $m \in E$ . L’élément $m$ est invariant pour $\rho$ si et seulement si $\theta(g) \cdot m = m$ quel que soit $g \in G$ . Ceci justifie l’emploi du mot « invariant ».

Exemple 1

Soient M, N deux g-modules, et P = $\mathscr{L}_K(M, N)$ . Pour qu’un élément f de P soit invariant, il faut et il suffit, d’après (6), que f soit un homomorphisme du g-module M dans le g-module N. En particulier, si M = N et $x_M = x_N$ pour tout $x \in g$ , f est invariant si et seulement si f est permutable aux $x_M$ .

Exemple 2

Soit M un K-module admettant une base finie. Si M est muni d’une structure de g-module, $\mathscr{L}(M, M)$ et $M^* \otimes M$ sont munis de structures de g-modules, et l’application canonique de $M^* \otimes M$ dans $\mathscr{L}(M, M)$ est un isomorphisme de g-modules (prop. 4). Comme $1 \in \mathscr{L}(M, M)$ est évidemment un invariant (cf. exemple 1), l’élément correspondant u de $M^* \otimes M$ est un invariant. Si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de M, et si $(e_i^*)_{1 \leq i \leq n}$ est la base duale, on a $u = \sum_{i=1}^n e_i^* \otimes e_i$ .

Exemple 3

Soit M un g-module. Soit $\beta$ une forme bilinéaire sur M, et soit f l’élément correspondant de $\mathscr{L}(M, M^*)$ . Pour que $\beta$ soit invariante, il faut et il suffit que f soit un homomorphisme de g-modules (prop. 4 et exemple 1). Supposons que K soit un corps, et que $\dim_K M < +\infty$ . Une forme bilinéaire $\beta$ sur M invariante et non dégénérée définit un isomorphisme du g-module M sur le g-module $M^*$ , donc un isomorphisme du g-module $M \otimes M$ sur le g-module $M^* \otimes M$ . Ainsi, compte tenu de l’exemple 2, la donnée de $\beta$ définit canoniquement un élément invariant c dans le g-module $M \otimes M$ , qu’on peut construire de la manière suivante : soit $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de M, $(e_i')_{1 \leq i \leq n}$ la base de M telle que $\beta(e_i, e_j') = \delta_{ij}$ ; alors $c = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e_i'$ .

Proposition 5

Soient g une K-algèbre de Lie, h un idéal de g, $\rho$ une représentation de g dans M, et $\rho'$ la restriction de $\rho$ à h. Alors l’ensemble N des éléments de M invariants pour $\rho'$ est stable pour $\rho(g)$ .

En effet, soient $n \in N$ et $y \in g$ ; quel que soit $x \in h$ , on a $[x, y] \in h$ , donc $\rho(x)\rho(y)n = \rho([x, y])n + \rho(y)\rho(x)n = 0$ ; donc $\rho(y)n \in N$ .

Proposition 6

Soit M un g-module semi-simple. Alors le sous-module $M_0$ des éléments invariants de M admet un et un seul supplémentaire stable pour les $x_M$ , à savoir le sous-module $M_1$ engendré par les $x_M \cdot m$ ( $x \in g, m \in M$ ).

En effet, soit $M'$ un sous-module de $M$ stable pour les $x_M$ et supplémentaire de $M_0$ dans $M$ . Pour tout $m \in M$ , on a $m = m_0 + m'$ avec $m_0 \in M_0,\ m' \in M'$ , donc $x_M m = x_M m' \in M'$ . Donc $M_1 \subset M'$ . Soit $M_2$ un sous-module de $M'$ stable pour les $x_M$ et supplémentaire de $M_1$ dans $M'$ . Pour tout $m \in M_2$ , on a $x_M m \in M_2 \cap M_1 = \{0\}$ quel que soit $x \in g$ , donc $m \in M_0$ , donc $m = 0$ . Donc $M_2 = \{0\}$ , ce qui prouve que $M_1 = M'$ .

6. Formes bilinéaires invariantes

Soit $g$ une algèbre de Lie sur $K$ . La représentation adjointe de $g$ dans $g$ et la représentation nulle de $g$ dans $K$ définissent dans le $K$ -module $N = \mathscr{L}(g, g; K)$ des formes bilinéaires sur $g$ une structure de $g$ -module. On dit brièvement qu’une forme bilinéaire $\beta$ sur $g$ est invariante si elle est invariante pour la représentation $x \mapsto x_N$ . D’après la formule (10), la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi est que :

\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z])

quels que soient $x, y, z$ dans $g$ .

Maintenant, soit $\mathfrak{d}$ l’algèbre de Lie des dérivations de $g$ . La représentation identique de $\mathfrak{d}$ et la représentation nulle de $\mathfrak{d}$ dans $K$ définissent une représentation $D \mapsto D_N$ de $\mathfrak{d}$ dans $N$ . On dit brièvement qu’une forme bilinéaire sur $g$ est complètement invariante si elle est invariante pour la représentation $D \mapsto D_N$ . Une forme bilinéaire complètement invariante est invariante. Pour qu’une forme bilinéaire $\beta$ sur $g$ soit complètement invariante, il faut et il suffit qu’on ait :

\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0

quels que soient $x, y$ dans $g$ et $D \in \mathfrak{d}$ .

Proposition 7

Soient $g$ une algèbre de Lie, $\beta$ une forme bilinéaire symétrique invariante sur $g$ , et $a$ un idéal de $g$ .

a) L’orthogonal $a'$ de $a$ pour $\beta$ est un idéal de $g$ .

b) Si $a$ est caractéristique, et si $\beta$ est complètement invariante, $a'$ est caractéristique.

c) Si $\beta$ est non dégénérée, $a \cap a'$ est commutatif.

Soit D une dérivation de g. Supposons que $a$ soit stable pour D et que $\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0$ pour $x, y$ dans g. Alors, $z \in a'$ entraîne $Dz \in a'$ , car pour tout $t \in a$ , on a $Dt \in a$ , donc $\beta(Dz, t) = -\beta(z, Dt) = 0$ . Ainsi, $a'$ est stable pour D. Ceci établit a) et b).

Soit maintenant b un idéal de g, et supposons que la restriction de $\beta$ à b soit nulle. Pour $x, y$ dans b et $z \in g$ , on a $\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z]) = 0$ , car $[y, z] \in b$ . Ainsi, $[b, b]$ est orthogonal à g. Si $\beta$ est non dégénérée, b est donc commutatif. Ce résultat, appliqué à $a \cap a'$ , prouve c).

Définition 4

Soient g une K-algèbre de Lie, M un g-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. On appelle forme bilinéaire associée au g-module M (ou à la représentation correspondante) la forme bilinéaire symétrique $(x, y) \mapsto \operatorname{Tr}(x_M y_M)$ sur g. Si la représentation considérée est la représentation adjointe, la forme bilinéaire associée s’appelle la forme de Killing de g.

Proposition 8

Soient g une algèbre de Lie, M un g-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. La forme bilinéaire associée à M est invariante.

En effet, pour $x, y, z$ dans g, on a :

\operatorname{Tr}([x, y]_M z_M) = \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(y_M x_M z_M) = \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(x_M z_M y_M) = \operatorname{Tr}(x_M [y, z]_M).

Proposition 9

Supposons que K soit un corps et que l’algèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. Soient a un idéal de g, $\beta$ la forme de Killing de g, et $\beta'$ celle de a. Alors, $\beta'$ est la restriction de $\beta$ à a.

En effet, soit u un endomorphisme de l’espace vectoriel g qui laisse stable a. Soient $v$ la restriction de u à a, et $w$ l’endomorphisme de l’espace vectoriel $g/a$ déduit de u par passage au quotient. On a $\operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} v + \operatorname{Tr} w$ comme on le voit en prenant une base $(x_1, \ldots, x_n)$ de g dont les p premiers éléments constituent une base de $a$ . Ceci posé, soient $x \in a,\ y \in a$ , et appliquons la formule précédente au cas où $u = (\mathrm{ad}_g x)(\mathrm{ad}_g y)$ . On a $v = (\mathrm{ad}_a x)(\mathrm{ad}_a y)$ , et $w = 0$ . Donc $\beta(x, y) = \beta'(x, y)$ .

Proposition 10

Supposons que K soit un corps, et que l’algèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. La forme de Killing $\beta$ de g est complètement invariante.

Soit D une dérivation de g. Il existe une algèbre de Lie $g'$ contenant g comme idéal de codimension 1, et un élément $x_0$ de $g'$ , tels que $Dx = [x_0, x]$ pour tout $x \in g$ (§ 1, no 8, exemple 1). Soit $\beta'$ la forme de Killing de $g'$ . Pour $x, y$ dans g, on a $\beta'([x, x_0], y) = \beta'(x, [x_0, y])$ , c’est-à-dire $\beta'(Dx, y) + \beta'(x, Dy) = 0$ . Or, la restriction de $\beta'$ à g est $\beta$ (prop. 9). D’où la proposition.

7. Élément de Casimir

Proposition 11

Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, U son algèbre enveloppante, $h$ un idéal de dimension finie de g, et $\beta$ une forme bilinéaire invariante sur g, dont la restriction à $h$ soit non dégénérée. Soient $(e_i)_{1 \leq i \leq n},\ (e'_j)_{1 \leq j \leq n}$ deux bases de $h$ telles que $\beta(e_i, e'_j) = \delta_{ij}$ . Alors l’élément $c = \sum_{i=1}^n e_i e'_i$ de U appartient au centre de U et est indépendant du choix de la base $(e_i)$ .

Pour $x \in g$ , soit $x_h$ la restriction à $h$ de $\mathrm{ad}_g x$ . Alors, $x \mapsto x_h$ est une représentation de g dans l’espace $h$ , et la restriction $\beta'$ de $\beta$ à $h$ est invariante pour cette représentation. D’après le no 5, exemple 3, le tenseur $\sum_{i=1}^n e_i \otimes e'_i$ est indépendant du choix de la base $(e_i)$ , et est un élément invariant de l’algèbre tensorielle de $h$ . C’est aussi un élément de l’algèbre tensorielle T de g, invariant pour la représentation déduite de la représentation adjointe de g. Son image canonique dans U, c’est-à-dire c, est donc indépendante du choix de la base $(e_i)$ , et est un invariant pour la représentation de g dans U considérée à la fin du no 2. Cet élément est donc permutable à tout élément de g, et par suite appartient au centre de U.

Lorsque $\beta$ est la forme bilinéaire associée à un g-module M, on dit que l’élément c de la proposition 11 est l’élément de Casimir associé à M (ou à la représentation correspondante). Cet élément existe si la restriction de $\beta$ à $\mathfrak{h}$ est non dégénérée.

Proposition 12

Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, $\mathfrak{h}$ un idéal de dimension finie n de g, et M un g-module de dimension finie sur K. Soit c l’élément de Casimir (supposé exister) associé à M et $\mathfrak{h}$ .

a) On a $\mathrm{Tr}\,(c_M) = n$ .

b) *Si M est simple, et si n n’est pas divisible par la caractéristique de K, $c_M$ est un automorphisme de M.

Reprenant les notations de la prop. 11, on a $\mathrm{Tr}\,(c_M) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Tr}\,((e_i)_M(e_i')_M) = \sum_{i=1}^n \beta(e_i, e_i') = n$ . Donc, si n n’est pas divisible par la caractéristique de K, $c_M \neq 0$ . D’autre part, comme c appartient au centre de U, $c_M$ est permutable à tous les $x_M, x \in g$ . Si de plus M est simple, $c_M$ est donc inversible dans $\mathscr{L}(M)$ (Alg., chap. VIII, § 4, no 3, prop. 2).

8. Extension de l’anneau de base

Soient $K_1$ un anneau commutatif à élément unité, $\varphi$ un homomorphisme de K dans $K_1$ transformant 1 en 1. Soient g une K-algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, et M un g-module à gauche, c’est-à-dire un U-module à gauche. Alors, $M_{(K_1)}$ est canoniquement muni d’une structure de $U_{(K_1)}$ -module à gauche, donc de $g_{(K_1)}$ -module à gauche. Soient $\rho$ et $\rho_{(K_1)}$ les représentations de g et $g_{(K_1)}$ correspondant à M et $M_{(K_1)}$ : on dit que $\rho_{(K_1)}$ se déduit de $\rho$ par extension de l’anneau de base, et on peut appliquer les résultats d’*Alg.*, chap. VIII, § 13, no 4. Si $x \in g$ , $\rho_{(K_1)}(x)$ n’est autre que l’endomorphisme $\rho(x) \otimes 1$ de $M_{(K_1)} = M \otimes_K K_1$ .

Supposons que K soit un corps, que $K_1$ soit une extension de K, et que $\varphi$ soit l’injection canonique de K dans $K_1$ . Soient V et $V'$ des sous-espaces vectoriels de M. Soit $a$ le sous-espace vectoriel de g formé des $x \in g$ tels que $\rho(x)(V) \subset V'$ . Soit $a'$ le sous-espace vectoriel de $g_{(K_1)}$ formé des $x' \in g_{(K_1)}$ tels que $\rho_{(K_1)}(x')(V_{(K_1)}) \subset V'_{(K_1)}$ . Alors, $a' = a_{(K_1)}$ . Il est clair en effet que $a_{(K_1)} \subset a'$ . Soit maintenant x' \in a'. On peut écrire $x' = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$ , où les $x_i$ sont dans $g$ , et où les $\lambda_i$ sont des éléments de $K_1$ linéairement indépendants sur $K$ . Pour tout $u \in V$ , on a $\rho(x').u \in V'_{(K_1)}$ , c’est-à-dire $\sum_{i=1}^n \lambda_i \rho(x_i).u \in V'_{(K_1)}$ , d’où $\rho(x_i).u \in V'$ , donc $x_i \in a$ et $x' \in a_{(K_1)}$ . Ceci montre bien que $a' = a_{(K_1)}$ . En particulier, le centre de $g_{(K_1)}$ se déduit du centre de $g$ par extension de $K$ à $K_1$ : il suffit d’appliquer ce qui précède à la représentation adjointe de $g$ . Il en résulte que $C_p(g_{(K_1)}) = (C_p g)_{(K_1)}$ pour tout $p$ . De même, soient $h$ une sous-algèbre de $g$ , et $n$ le normalisateur de $h$ dans $g$ . Alors, le normalisateur de $h_{(K_1)}$ dans $g_{(K_1)}$ est $n_{(K_1)}$ .

Soient $K, K_1, g, \rho, M$ comme dans l’alinéa précédent. Soient $b$ un sous-espace vectoriel de $g$ , et $W$ un sous-espace vectoriel de $M$ . Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $M$ formé des $m \in M$ tels que $\rho(b).m \subset W$ . Soit $V'$ le sous-espace vectoriel de $M_{(K_1)}$ formé des $m' \in M_{(K_1)}$ tels que $\rho_{(K_1)}(b_{(K_1)}).m' \subset W_{(K_1)}$ . On voit comme ci-dessus que $V' = V_{(K_1)}$ . En particulier, le sous-espace vectoriel des invariants de $M_{(K_1)}$ se déduit du sous-espace vectoriel des invariants de $M$ par extension du corps de base de $K$ à $K_1$ .

Soient $K, K_1$ et $\varphi$ comme au début de ce no. Soient $g$ une $K$ -algèbre de Lie, $M$ et $N$ des $g$ -modules. Si $M$ et $N$ sont des $g$ -modules isomorphes, $M_{(K_1)}$ et $N_{(K_1)}$ sont des $g_{(K_1)}$ -modules isomorphes. Inversement :

Proposition 13

Soient K un corps, K₁ une extension de K, g une K-algèbre de Lie, M, N deux g-modules de dimension finie sur K. Si M_{(K₁)} et N_{(K₁)} sont des g_{(K₁)}-modules isomorphes, M et N sont des g-modules isomorphes.

La démonstration se fait en deux étapes.

1° Supposons d’abord que $K_1$ soit une extension de $K$ de degré fini $n$ . Soit $U$ l’algèbre enveloppante de $g$ , de sorte que l’algèbre enveloppante de $g_{(K_1)}$ est $U_{(K_1)} = U \otimes_K K_1$ (§ 2, no 9). Étant isomorphes en tant que $U_{(K_1)}$ -modules, $M_{(K_1)}$ et $N_{(K_1)}$ le sont a fortiori en tant que $U$ -modules ; mais en tant que $U$ -modules, ils sont respectivement isomorphes à $M^n$ et $N^n$ . Or, $M$ et $N$ sont des $U$ -modules de longueur finie ; $M$ (resp. $N$ ) est donc somme directe d’une famille $(P_i^{r_i})_{1 \leq i \leq p}$ (resp. $(Q_j^{s_j})_{1 \leq j \leq q}$ ) de sous-modules tels que les $P_i$ (resp. $Q_j$ ) soient indécomposables et deux $P_i$ (resp. $Q_j$ ) d’indices distincts non isomorphes (Alg., chap. VIII, , n° 2, th. 1). Alors $M^n$ (resp. $N^n$ ) est isomorphe à la somme directe des $P_i^{nr_i}$ (resp. $Q_j^{ns_j}$ ) ; on en conclut (loc. cit.) que $p = q$ et qu’après permutation éventuelle des $Q_j$ on a $nr_i = ns_i$ et $P_i$ est isomorphe à $Q_i$ pour $1 \leq i \leq p$ , donc $M$ isomorphe à $N$

2° Cas général. Soient $P$ le g-module $\mathscr{L}_K(M, N)$ et $Q$ le sous-espace des invariants de $P$ , c’est-à-dire l’ensemble des homomorphismes du g-module $M$ dans le g-module $N$ . Dans le $g_{(K_1)}$ -module $\mathscr{L}_{K_1}(M_{(K_1)}, N_{(K_1)}) = (\mathscr{L}_K(M, N))_{(K_1)}$ , le sous-espace des invariants est $Q_{(K_1)}$ . L’hypothèse que $M_{(K_1)}$ et $N_{(K_1)}$ sont isomorphes entraîne que $M$ et $N$ ont même dimension sur $K$ , et qu’il existe dans $Q_{(K_1)}$ un élément $g$ qui est un isomorphisme de $M_{(K_1)}$ sur $N_{(K_1)}$ . Soit $(f_1, \ldots, f_d)$ une base de $Q$ sur $K$ . Choisissons d’autre part des bases de $M$ et $N$ sur $K$ . Si $\lambda_k \in K_1$ pour $1 \leq k \leq d$ , la matrice de $f = \sum_{k=1}^d \lambda_k f_k$ par rapport à ces bases a un déterminant qui est un polynôme $D(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)$ à coefficients dans $K$ . Lorsque $f = g$ , ce déterminant est non nul, donc les coefficients de $D$ ne sont pas tous nuls. Par suite, si $\Omega$ est la clôture algébrique de $K$ , il existe (puisque $\Omega$ est infini) des éléments $\mu_k \in \Omega$ ( $1 \leq k \leq d$ ) tels que $D(\mu_1, \ldots, \mu_d) \neq 0$ (Alg., chap. IV, § 2, n° 5, prop. 8). Si $K_2$ est l’extension algébrique de $K$ engendrée par les $\mu_k$ ( $1 \leq k \leq d$ ), on en conclut que $\sum_{k=1}^d \mu_k f_k$ est un isomorphisme de $M_{(K_2)}$ sur $N_{(K_2)}$ ; mais $K_2$ est de degré fini sur $K$ (Alg., chap. V, § 3, n° 2, prop. 5), donc $M$ et $N$ sont isomorphes en vertu de la première partie du raisonnement.

Soient à nouveau $K$ , $K_1$ et $\varphi$ comme au début de ce n°. Soit $\rho$ une représentation de $g$ dans un $K$ -module $M$ possédant une base finie $(x_1, \ldots, x_n)$ . Alors, la forme bilinéaire sur $g_{(K_1)}$ associée à $\rho_{(K_1)}$ se déduit de la forme bilinéaire associée à $\rho$ par extension à $K_1$ de l’anneau de base (car, si $u \in \mathscr{L}_K(M)$ , $u$ a même matrice par rapport à $(x_1, \ldots, x_n)$ que $u \otimes 1$ par rapport à $(x_1 \otimes 1, \ldots, x_n \otimes 1)$ , donc $u$ et $u \otimes 1$ ont même trace). En particulier, si le $K$ -module $g$ possède une base finie, la forme de Killing de $g_{(K_1)}$ se déduit de celle de $g$ par extension à $K_1$ de l’anneau de base.

Exercices

See the exercises for § 3.