§ 3. Biểu diễn

1. Biểu diễn

Định nghĩa 1

Cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M$ là một $K$ -môđun. Một đồng cấu của $g$ vào đại số Lie $gl(M)$ được gọi là một biểu diễn của $g$ trên môđun $M$ . Một biểu diễn đơn ánh được gọi là trung thành. Nếu $K$ là một trường, chiều (hữu hạn hoặc vô hạn) của $M$ trên $K$ được gọi là chiều của biểu diễn. Biểu diễn $x \mapsto \operatorname{ad} x$ của $g$ trên $K$ -môđun $g$ được gọi là biểu diễn liên hợp của $g$ .

Một biểu diễn của $g$ trên $M$ do đó là một ánh xạ tuyến tính trên $K$ $\rho$ của $g$ vào môđun các tự đồng cấu của $M$ sao cho

\rho([x, y]) \cdot m = \rho(x) \rho(y) \cdot m - \rho(y) \rho(x) \cdot m

với mọi $x \in g, y \in g, m \in M$ .

Ví dụ

Cho G là một nhóm Lie thực, g là đại số Lie của nó và θ là một biểu diễn giải tích của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều E. Khi đó đồng cấu tương ứng của g vào gl(E) là một biểu diễn của g trên E.

Cho U là đại số bao quanh của g. Mệnh đề 1 của § 2, no. 1 xác định một sự tương ứng một-một giữa tập hợp các biểu diễn của g trên M và tập hợp các biểu diễn của U trên M. Mặt khác ta biết (Đại số, Chương VIII, § 13, no. 1) rằng có một sự tương đương giữa khái niệm biểu diễn của đại số kết hợp U và khái niệm môđun trái U.

Định nghĩa 2

Cho g là một đại số Lie trên K và U là đại số bao quanh của nó. Một môđun trái đơn vị trên U được gọi là một môđun trái g, hoặc đơn giản là một g-môđun.

Nếu M là một g-môđun và x ∈ U, x_M sẽ chỉ phép vị tự của M xác định bởi x (xem Đại số, Chương VIII, § 1, no. 2).

Một môđun phải đơn vị trên U được gọi là một g-môđun phải. Một môđun như vậy được đồng nhất với một U^0-môđun trái, nghĩa là (§ 2, no. 4) với một g^0-môđun trái.

Cho φ là phản tự đồng cấu chính của U. Nếu M là một g-môđun phải, một cấu trúc g-môđun trái được xác định trên M bằng cách viết a.m = m.φ(a) với m ∈ M và a ∈ U.

Các khái niệm và các kết quả của lý thuyết môđun có thể được chuyển sang ngôn ngữ của các biểu diễn:

(1) Hai biểu diễn ρ và ρ' của g trên M và M' được gọi là tương tự hoặc đẳng cấu nếu các g-môđun M và M' là đẳng cấu. Điều này tương đương với việc tồn tại một đẳng cấu u của K-môđun M lên K-môđun M' sao cho

\rho'(x) = u \circ \rho(x) \circ u^{-1}

với mọi x ∈ g.

(2) Với mọi i ∈ I, cho ρ_i là một biểu diễn của g trên M_i. Cho M là g-môđun là tổng trực tiếp của các g-môđun M_i. Có một biểu diễn tương ứng ρ của g trên M, được gọi là tổng trực tiếp của các ρ_i và ký hiệu bởi $\sum_{i \in I} \rho_i$ (hoặc $\rho_1 + \cdots + \rho_n$ trong trường hợp có n biểu diễn $\rho_1, \ldots, \rho_n$ ). Nếu $m = (m_i)_{i \in I}$ là một phần tử của M và x ∈ g, thì $\rho(x).m = (\rho_i(x).m_i)_{i \in I}$ .

(3) Một biểu diễn ρ của g trên M được gọi là đơn hoặc bất khả quy nếu g-môđun liên kết là đơn. Điều này tương đương với việc nói rằng không tồn tại môđun con-K nào của M (khác với {0} và M) ổn định đối với mọi $\rho(x), x \in g$ . Một lớp các g-môđun đơn (Đại số, Chương VIII, § 3, no. 2) xác định một lớp các biểu diễn đơn của g.

(4) Một biểu diễn ρ của g trên M được gọi là nửa đơn hoặc hoàn toàn khả quy nếu g-môđun liên kết là nửa đơn. Điều này tương đương với việc nói rằng ρ tương tự với một tổng trực tiếp của các biểu diễn đơn hoặc rằng mọi môđun con-K của

M ổn định dưới $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) đều có một phần bù ổn định dưới $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) (xem Đại số, Chương VIII, § 3, no. 3).

(5) Cho $\delta$ là một lớp các biểu diễn đơn của $g$ tương ứng với một lớp C các g-môđun đơn. Mặt khác cho $\rho$ là một biểu diễn của g trên M. Thành phần đẳng kiểu $M_C$ thuộc loài C của g-môđun M (Đại số, Chương VIII, § 3, no. 4) cũng được gọi là thành phần đẳng kiểu của M thuộc loài $\delta$ . Thành phần này là tổng của các môđun con-K của M ổn định dưới $\rho(x)$ và trên đó $\rho(x)$ cảm sinh một biểu diễn thuộc lớp $\delta$ ; nó là tổng trực tiếp của một số môđun con trong các môđun này; nếu $M_C$ có độ dài $n$ , thì ρ được nói là chứa $\delta$ n lần. Tổng của các $M_C$ khác nhau là trực tiếp; nó bằng M khi và chỉ khi ρ là nửa đơn.

(6) Cho $\rho, \rho'$ là hai biểu diễn của $g$ . $\rho'$ được gọi là một biểu diễn con (tương ứng biểu diễn thương) của $\rho$ nếu môđun của $\rho'$ là một môđun con (tương ứng môđun thương) của môđun của $\rho$ .

Cho M là một K-môđun. Biểu diễn không của $g$ trên M xác định trên M một cấu trúc $g$ -môđun. Với cấu trúc này M được gọi là một $g$ -môđun tầm thường.

Cho M là một $g$ -môđun. Các $g$ -môđun thương của các môđun con- $g$ của M cũng là các môđun con- $g$ của các môđun thương của M: chúng thu được bằng cách xét hai môđun con- $g$ U, $U'$ của M sao cho $U \supset U'$ và lập $g$ -môđun $U/U'$ . Khi đó nếu mọi môđun đơn thuộc kiểu trên đều đẳng cấu với một $g$ -môđun đơn N đã cho, M được gọi là một $g$ -môđun thuần loài N. Nếu $\rho$ và $\sigma$ là các biểu diễn của $g$ tương ứng với M và N, ta cũng nói rằng $\rho$ là thuần loài $\sigma$ .

Cho $M'$ là một môđun con- $g$ của M. Để M thuần loài N, điều kiện cần và đủ là $M'$ và $M/M'$ thuần loài N. Quả vậy, điều kiện này hiển nhiên là cần. Giả sử nó đúng và cho U, $U'$ là các môđun con- $g$ của M sao cho $U' \subset U$ và $U/U'$ là đơn; gọi $\phi$ là đồng cấu chính tắc từ M lên $M/M'$ ; nếu $\phi(U) \neq \phi(U')$ , $U/U'$ đẳng cấu với $\phi(U)/\phi(U')$ và do đó đẳng cấu với N; nếu $\phi(U) = \phi(U')$ , thì $U \subset U' + M'$ , do đó $U/U'$ đẳng cấu với một môđun con đơn của $(U' + M')/U'$ và môđun sau cùng này tự nó đẳng cấu với $M'/(U' \cap M')$ ; do đó $U/U'$ lại đẳng cấu với N, vậy M thuần loài N.

Từ đây về sau, cho M là một $g$ -môđun và giả sử rằng tập hợp các môđun con- $g$ của M thuần loài N thừa nhận một phần tử cực đại $M'$ . Khi đó mọi môđun con $M''$ của M thuần loài N đều được chứa trong $M'$ . Vì $M''/(M' \cap M'')$ và $M'$ đều thuần loài N, nên $M' + M''$ thuần loài N theo điều trên và do đó $M' + M'' \subset M'$ .

Giả sử $g$ -môđun M thừa nhận một chuỗi Jordan-Hölder $(M_i)_{0 \leq i \leq n}$ . Để M thuần loài N, điều kiện cần và đủ là $M_0/M_1, M_1/M_2, \ldots, M_{n-1}/M_n$ đẳng cấu với N; vì điều kiện này hiển nhiên là cần và tính đủ của nó suy ra ngay lập tức bằng quy nạp theo $n$ từ điều đã thấy ở trên.

Mệnh đề 1

Cho g là một đại số Lie trên K và a là một iđêan của g. Cho M là một môđun g* và $N$ là một $a$ -môđun đơn. Xét $M$ như một $a$ -môđun và giả sử rằng tập hợp các môđun con- $a$ của $M$ thuần nhất thuộc loài $N$ thừa nhận một phần tử cực đại $M'$ . Khi đó $M'$ là một môđun con- $g$ của $M$ .

Cho $y \in g$ . Gọi $\phi$ là ánh xạ chính tắc của $M$ lên $M/M'$ và $f$ là ánh xạ $m \mapsto \phi(y_M \cdot m)$ của $M'$ vào $M/M'$ . Chỉ cần chứng minh rằng $f(M') = \{0\}$ . Cho $x \in a$ . Khi đó, với $m \in M$ ,

x_{M/M'} \cdot f(m) = \phi(x_M y_M \cdot m) = \phi(y_M x_M \cdot m) + \phi([x, y]_M \cdot m).

Bây giờ $[x, y] \in a$ , do đó $\phi([x, y]_M \cdot m) = 0$ ; mặt khác,

\phi(y_M x_M \cdot m) = f(x_M \cdot m).

Suy ra $x_{M/M'} \cdot f(m) = f(x_M \cdot m)$ . Từ đó suy ra rằng $f(M')$ là một môđun con- $a$ của $M/M'$ đẳng cấu với một thương của $M'$ và do đó thuần nhất thuộc loài $N$ ; do đó $f(M') = \{0\}$ .

Hệ quả

Cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $a$ là một iđêan của $g$ . Cho $M$ là một môđun $g$ đơn, có độ dài hữu hạn như một môđun $K$ . Tồn tại một $a$ -môđun đơn $N$ sao cho $M$ là một $a$ -môđun thuần nhất thuộc loài $N$ .

Vì $a$ -môđun $M$ có độ dài hữu hạn, tồn tại một phần tử cực tiểu $N$ trong tập hợp các môđun con- $a$ của $M$ : nó là một môđun con- $a$ đơn của $M$ . Môđun con- $a$ lớn nhất của $M$ thuần nhất thuộc loài $N$ do đó là $\neq \{0\}$ và là một môđun con- $g$ của $M$ (Mệnh đề 1), và vì vậy trùng với $M$ .

2. Tích tenxơ của các biểu diễn

Ta đã định nghĩa trong no. 1 tổng trực tiếp của một họ các biểu diễn của $g$ . Bây giờ ta sẽ định nghĩa các phép toán khác trên các biểu diễn.

Cho $g_1, g_2$ là hai đại số Lie trên $K$ và $M_i$ là một $g_i$ -môđun ( $i = 1, 2$ ). Gọi $U_i$ là đại số bao quanh của $g_i$ và $\sigma_i$ là ánh xạ chính tắc của $g_i$ vào $U_i$ . Khi đó $M_i$ là một $U_i$ -môđun trái và do đó $M_1 \otimes_K M_2$ có một cấu trúc môđun trái chính tắc trên $(U_1 \otimes_K U_2)$ . Bây giờ $U_1 \otimes_K U_2$ là đại số bao quanh của $g_1 \times g_2$ và ánh xạ $(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)$ là ánh xạ chính tắc của $g_1 \times g_2$ vào đại số bao quanh này (§ 2, no. 2). Do đó tồn tại một cấu trúc $(g_1 \times g_2)$ -môđun trên $M = M_1 \otimes_K M_2$ sao cho:

\begin{align*} (1) \quad (x_1, x_2)_M \cdot (m_1 \otimes m_2) &= (\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot (m_1 \otimes m_2) \\ &= ((x_1)_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes ((x_2)_{M_2} \cdot m_2). \end{align*}

Cấu trúc này xác định một biểu diễn của $g_1 \times g_2$ trên $M$ .

Nếu bây giờ $g_1 = g_2 = g$ , đồng cấu $x \mapsto (x, x)$ của $g$ vào $g \times g$ , hợp với biểu diễn trên, xác định một biểu diễn của $g$ trên $M$ và do đó một cấu trúc $g$ -môđun trên $M$ sao cho:

(2) \quad x_M \cdot (m_1 \otimes m_2) = (x_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes (x_{M_2} \cdot m_2).

Bằng một lập luận tương tự ta thấy rằng:

Mệnh đề 2

Cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M_i$ là một $g$ -môđun ( $1 \leq i \leq n$ ). Trên tích tenxơ $M_1 \otimes_K M_2 \otimes \cdots \otimes M_n$ , tồn tại một và chỉ một cấu trúc $g$ -môđun sao cho

x_M \cdot (m_1 \otimes \cdots \otimes m_m) = \sum_{t=1}^n m_1 \otimes \cdots \otimes (x_{M_t} \cdot m_i) \otimes \cdots \otimes m_n

với mọi $x \in g, m_1 \in M_1, \ldots, m_n \in M_n$ .

Biểu diễn tương ứng được gọi là tích tenxơ của các biểu diễn đã cho của $g$ trên các $M_i$ .

Đặc biệt, nếu $M$ là một $g$ -môđun, Mệnh đề 2 xác định một cấu trúc $g$ -môđun trên mỗi $M_p = \bigotimes^p M$ và do đó trên đại số tenxơ $T$ của $M$ .

Công thức (3) chỉ ra rằng, với mọi $x \in g, x_T$ là đạo hàm duy nhất của đại số $T$ mở rộng $x_M$ . Ta biết (§ 2, no. 8) rằng $x_T$ xác định, khi chuyển qua thương, một đạo hàm của đại số đối xứng $S$ của $M$ . Do đó $S$ có thể được xem như một $g$ -môđun thương của $T$ và các $x_S$ là các đạo hàm của $S$ .

Đặc biệt hơn nữa, xét $g$ như một $g$ -môđun bằng cách dùng biểu diễn phụ hợp của $g$ . Gọi $U$ là đại số bao quanh của $g$ . Theo Mệnh đề 7 của § 2, $x_M$ xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một đạo hàm của $U$ , chính là đạo hàm nội xác định bởi $\sigma(x)$ ( $\sigma$ ký hiệu ánh xạ chính tắc của $g$ vào $U$ ). Khi đó $U$ có thể được xem như một $g$ -môđun thương của $T$ . Nếu $K$ là một trường có đặc số 0, đẳng cấu chính tắc của $S$ lên $U$ là một đẳng cấu $g$ -môđun (§ 2, no. 8).

3. Biểu diễn trên các môđun đồng cấu

Một lần nữa, cho $g_1$ và $g_2$ là hai đại số Lie trên $K$ và $M_i$ là một $g_i$ -môđun ( $i = 1, 2$ ). Gọi $U_i$ là đại số bao quanh của $g_i$ và $\sigma_i$ là ánh xạ chính tắc của $g_i$ vào $U_i$ . Khi đó $M_i$ là một $U_i$ -môđun trái và do đó $\mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ có một cấu trúc môđun trái chính tắc $(U_1^0 \otimes U_2)$ . Bây giờ $U_1^0 \otimes_K U_2$ là đại số bao quanh của $g_1^0 \times g_2$ và ánh xạ

(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)

là ánh xạ chính tắc của $g_1^0 \times g_2$ vào đại số bao quanh này. Do đó tồn tại một cấu trúc $(g_1^0 \times g_2)$ -môđun trên $M = \mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ sao cho

((x_1, x_2)_M \cdot u) \cdot m_1 = ((\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot u) \cdot m_1 \\ = u((x_1)_{M_1} \cdot m_1) + (x_2)_{M_2} \cdot u(m_1)

với mọi $u \in \mathscr{L}_K(M_1, M_2), m_1 \in M_1$ . Cấu trúc này xác định một biểu diễn của $g_1^0 \times g_2$ trên $M$ .

Nếu bây giờ $g_1 = g_2 = g$ , đồng cấu $x \mapsto (-x, x)$ của $g$ vào $g^0 \times g$ , hợp với biểu diễn trên, xác định một biểu diễn của $g$ trên $M$ và do đó một cấu trúc $g$ -môđun trên $M$ sao cho

(x_M \cdot u) \cdot m_1 = x_{M_2} \cdot u(m_1) - u(x_{M_1} \cdot m_1)

hoặc

x_M \cdot u = x_{M_2} u - u x_{M_1}.

Kết hợp các kết quả này với Mệnh đề 2, ta thấy rằng:

Mệnh đề 3

Cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M_i$ là một $g$ -môđun ( $1 \leq i \leq n + 1$ ). Cho $N$ là $K$ -môđun $\mathscr{L}_K(M_1, \ldots, M_n; M_{n+1})$ gồm các ánh xạ đa tuyến từ $\prod_{i=1}^n M_i$ vào $M_{n+1}$ . Tồn tại duy nhất một cấu trúc $g$ -môđun trên $N$ sao cho

(x_N \cdot u)(m_1, \ldots, m_n) = - \sum_{i=1}^n u(m_1, \ldots, x_{M_i} \cdot m_i, \ldots, m_n)

+ x_{M_{n+1}} \cdot u(m_1, \ldots, m_n)

đối với mọi $x \in g, u \in N$ và $m_i \in M_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ).

Đặc biệt, cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M$ là một $g$ -môđun, và xét $K$ như một $g$ -môđun tầm thường. Mệnh đề 3 xác định một cấu trúc $g$ -môđun trên $\mathscr{L}_K(M, K) = M^*$ . Biểu diễn tương ứng được gọi là biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn $x \mapsto x_M$ . Ta có:

(x_{M^*} \cdot f)(m) = -f(x_M \cdot m)

đối với mọi $x \in g, f \in M^*, m \in M$ . Nói cách khác:

x_{M^*} = -{}^t x_M.

Khi $K$ là một trường và $M$ là hữu hạn chiều, $g$ -môđun $M$ là đơn (tương ứng, nửa đơn) khi và chỉ khi $g$ -môđun $M^*$ là đơn (tương ứng, nửa đơn).

Mệnh đề 4

Cho $M_1, M_2$ là hai $g$ -môđun. Các ánh xạ $K$ -tuyến tính chính tắc* (Đại số, Chương II, § 4, no. 2, Mệnh đề 2 và no. 1, Mệnh đề 1):

M_1^* \otimes_K M_2 \xrightarrow{\phi} \mathscr{L}_K(M_1, M_2), \quad \mathscr{L}_K(M_1, M_2^*) \xrightarrow{\psi} (M_1 \otimes_K M_2)^*

(trong đó ánh xạ thứ hai là song ánh) là các đồng cấu $g$ -môđun.

Ta viết

N = M_1^* \otimes M_2, \quad P = \mathscr{L}(M_1, M_2), \quad Q = \mathscr{L}(M_1, M_2^*), \quad R = (M_1 \otimes M_2)^*.

Khi đó, với $x \in g, f \in M_1^*, m_1 \in M_1, m_2 \in M_2$ ,

((\phi x_N)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = (\phi(x_{M_1^*} f \otimes m_2 + f \otimes x_{M_2} m_2)) \cdot m_1 \\ = \langle x_{M_1^*} f, m_1 \rangle m_2 + \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2

((x_P \phi)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = x_{M_2}(\phi(f \otimes m_2) \cdot m_1) - \phi(f \otimes m_2)(x_{M_1} m_1) \\ = \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2 - \langle f, x_{M_1} m_1 \rangle m_2

và do đó $\phi x_N = x_P \phi$ . Mặt khác, với $x \in g, u \in \mathscr{L}(M_1, M_2^*), m_1 \in M_1, m_2 \in M_2$ :

(\psi x_Q u)(m_1 \otimes m_2) = \langle (x_Q u) \cdot m_1, m_2 \rangle = \langle x_{M_2^*} u m_1 - u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle \\ (x_R \psi u)(m_1 \otimes m_2) = -\langle \psi u, x_{M_1} m_1 \otimes m_2 + m_1 \otimes x_{M_2} m_2 \rangle \\ = -\langle u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle - \langle u m_1, x_{M_2} m_2 \rangle

và do đó $\psi x_Q = x_R \psi$ , điều này hoàn thành chứng minh.

Các $g$ -môđun $\mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ và $(M_1 \otimes M_2)^*$ được đồng nhất dưới đẳng cấu $\psi$ . Nếu $M_1$ và $M_2$ có các cơ sở hữu hạn, $\phi$ là một đẳng cấu (Đại số, Chương II, § 4, no. 2, Mệnh đề 2), điều này cho phép chúng ta đồng nhất các $g$ -môđun $M_1^* \otimes M_2$ và $\mathscr{L}(M_1, M_2)$ ; trong trường hợp đó, do đó chúng ta có thể đồng nhất các $g$ -môđun $M_1^* \otimes M_2^*, \mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ và $(M_1 \otimes M_2)^*$ .

4. Ví dụ

Ví dụ 1

Cho $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M$ là một $g$ -môđun. Cấu trúc $g$ -môđun trên $M$ và cấu trúc $g$ -môđun tầm thường trên $K$ xác định một cấu trúc $g$ -môđun trên $K$ -môđun $N = \mathscr{L}(M, M; K)$ của các dạng song tuyến tính trên $M$ . Khi đó

(x_N \cdot \beta)(m, m') = -\beta(x_M \cdot m, m') + \beta(m, x_M \cdot m')

với mọi $x \in g, m, m'$ trong $M, \beta \in N$ . Nếu $\beta$ là một phần tử đã cho của $N$ , tập hợp các $x \in g$ sao cho $x_N \cdot \beta = 0$ là một đại số con của $g$ .

Cho $M$ là một $K$ -môđun và $\beta$ là một dạng song tuyến tính trên $M$ . Theo trên, tập hợp các $x \in gl(M)$ sao cho

\beta(x \cdot m, m') + \beta(m, x \cdot m') = 0

với mọi $m \in M$ và $m' \in M$ là một đại số con Lie của $gl(M)$ . Giả sử rằng $K$ là một trường, $M$ là hữu hạn chiều và $\beta$ không suy biến. Khi đó mọi $x \in gl(M)$ đều có một liên hợp trái $x^*$ (đối với $\beta$ ) được xác định khắp nơi và đại số con đang xét là tập hợp các $x \in gl(M)$ sao cho $x^* = -x$ . Bằng quá trình này chúng ta có thể xây dựng hai ví dụ quan trọng của các đại số Lie:

(a) Lấy $M = K^n$ và

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_n), (\eta_1, \ldots, \eta_n)) = \xi_1 \eta_1 + \cdots + \xi_n \eta_n.

Chúng ta đồng nhất một cách chính tắc $gl(K^n)$ với $M_n(K)$ . Khi đó đại số Lie thu được là đại số Lie của các ma trận đối xứng lệch. *(Khi $K = \mathbf{R}$ , đại số này là đại số Lie của nhóm trực giao $O(n, \mathbf{R})$ ).

(b) Lấy $M = K^{2m}$ và

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_{2m}), (\eta_1, \ldots, \eta_{2m})) = \xi_1 \eta_{m+1} - \eta_1 \xi_{m+1} + \cdots + \xi_m \eta_{2m} - \eta_m \xi_{2m}.

Ma trận của

\beta

đối với cơ sở chính tắc của

K^{2m}

là ma trận

\begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}.

Cho

U = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

là ma trận đối với cơ sở chính tắc của

K^{2m}

của một phần tử

u

của

\mathrm{gl}(M)

(

A, B, C, D

nằm trong

\mathbf{M}_m(K)

). Theo công thức (50) của Đại số, Chương IX, § 1, no. 10,

u^*

có đối với cùng cơ sở ma trận

\begin{pmatrix} 0 & -I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} tA & tC \\ tB & tD \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} tD & -tB \\ -tC & tA \end{pmatrix}.

Điều kiện

u^* = -u

do đó tương đương với các điều kiện

D = -tA \quad B = tB \quad C = tC.

*Khi

K = \mathbf{R}

, đại số Lie thu được là đại số Lie của nhóm symplectic

\mathbf{Sp}(2m, \mathbf{R})

Ví dụ 2

Ta giữ ký hiệu của Ví dụ 1.

Cấu trúc môđun- $g$ trên $M$ xác định trên môđun- $K$ $P = \mathscr{L}_K(M, M)$ của các tự đồng cấu của $M$ một cấu trúc môđun- $g$ . Theo (6), với mọi $x \in g$ và $u \in P$ :

(11)

x_P \cdot u = [x_M, u] = (\mathrm{ad}\, x_M) \cdot u

trong đó

\mathrm{ad}\, x_M

chỉ ảnh của

x_M

qua biểu diễn phụ hợp của

\mathrm{gl}(M)

. Nói cách khác:

(12)

x_P = \mathrm{ad}\, x_M

trong

\mathscr{L}(\mathscr{L}(M, M)) = \mathscr{L}(\mathrm{gl}(M))

5. Các phần tử bất biến

Định nghĩa 3

Một phần tử $m \in M$ của một đại số Lie $g$ và một môđun- $g$ $M$ được gọi là bất biến (đối với cấu trúc môđun- $g$ trên $M$ hoặc đối với biểu diễn tương ứng của $g$ ) nếu $x_M \cdot m = 0$ với mọi $x \in g$ .

Một nhóm Lie thực liên thông $G$ , $g$ là đại số Lie của nó, $\theta$ là một biểu diễn giải tích của $G$ trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều $E$ và $\rho$ là biểu diễn tương ứng của $g$ trên $E$ . Cho $m \in E$ . Phần tử $m$ là bất biến đối với $\rho$ khi và chỉ khi $\theta(g) \cdot m = m$ với mọi $g \in G$ . Điều này giải thích việc sử dụng từ "bất biến".

Ví dụ 1

Cho $M, N$ là hai $g$ -môđun và $P = \mathscr{L}_K(M, N)$ . Để một phần tử $f$ của $P$ là bất biến, theo (6), điều kiện cần và đủ là $f$ là một đồng cấu của $g$ -môđun $M$ vào $g$ -môđun $N$ . Đặc biệt, nếu $M = N$ và $x_M = x_N$ với mọi $x \in g$ , thì $f$ là bất biến khi và chỉ khi $f$ giao hoán được với các $x_M$ .

Ví dụ 2

Cho M là một K-môđun có một cơ sở hữu hạn. Nếu M có một cấu trúc $g$ -môđun, $\mathscr{L}(M, M)$ và $M^* \otimes M$ có các cấu trúc $g$ -môđun và ánh xạ chính tắc của $M^* \otimes M$ vào $\mathscr{L}(M, M)$ là một đẳng cấu $g$ -môđun (Mệnh đề 4). Vì $1 \in \mathscr{L}(M, M)$ hiển nhiên là một phần tử bất biến (xem Ví dụ 1), nên phần tử $u$ tương ứng của $M^* \otimes M$ là một phần tử bất biến. Nếu $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của M và $(e_i^*)_{1 \leq i \leq n}$ là cơ sở đối ngẫu, ta có $u = \sum_{i=1}^n e_i^* \otimes e_i$ .

Ví dụ 3

Cho M là một $g$ -môđun. Cho $\beta$ là một dạng song tuyến tính trên M và f là phần tử tương ứng của $\mathscr{L}(M, M^*)$ . Để $\beta$ là bất biến, điều kiện cần và đủ là f là một đồng cấu $g$ -môđun (Mệnh đề 4 và Ví dụ 1). Giả sử rằng K là một trường và rằng $\dim_K M < +\infty$ . Một dạng song tuyến tính bất biến không suy biến $\beta$ trên M xác định một đẳng cấu của $g$ -môđun M lên $g$ -môđun $M^*$ và do đó một đẳng cấu của $g$ -môđun $M \otimes M$ lên $g$ -môđun $M^* \otimes M$ . Vì vậy, theo Ví dụ 2, việc cho $\beta$ xác định một cách chính tắc một phần tử bất biến c trong $g$ -môđun $M \otimes M$ , phần tử này có thể được xây dựng như sau: cho $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của M và $(e'_i)_{1 \leq i \leq n}$ là cơ sở của M sao cho $\beta(e_i, e'_j) = \delta_{ij}$ ; khi đó $c = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e'_i$ .

Mệnh đề 5

Cho g là một đại số Lie trên K, h là một iđêan của g, $\rho$ là một biểu diễn của g trên M và $\rho'$ là hạn chế của $\rho$ vào h. Khi đó tập hợp N các phần tử của M bất biến đối với $\rho'$ là ổn định dưới $\rho(g)$ .

Cho $n \in N$ và $y \in g$ ; với mọi $x \in h, [x, y] \in h$ và do đó

\rho(x)\rho(y)n = \rho([x, y])n + \rho(y)\rho(x)n = 0;

do đó

\rho(y)n \in N

Mệnh đề 6

Cho M là một $g$ -môđun nửa đơn. Khi đó môđun con $M_0$ gồm các phần tử bất biến của M thừa nhận duy nhất một phần bù ổn định dưới các $x_M$ , cụ thể là môđun con $M_1$ sinh bởi các $x_M.m$ ( $x \in g, m \in M$ ).

Cho $M'$ là một môđun con của M ổn định dưới $x_M$ và là một phần bù của $M_0$ trong M. Với mọi $m \in M, m = m_0 + m'$ với $m_0 \in M_0, m' \in M'$ , và do đó $x_M m = x_M m' \in M'$ . Suy ra $M_1 \subset M'$ . Gọi $M_2$ là một môđun con của $M'$ ổn định dưới $x_M$ và bổ sung cho $M_1$ trong $M'$ . Với mọi $m \in M_2$ ,

x_M m \in M_2 \cap M_1 = \{0\}

với mọi

x \in g

, do đó

m \in M_0

và do đó

m = 0

. Suy ra

M_2 = \{0\}

, điều này chứng minh rằng

M_1 = M'

6. Các dạng song tuyến tính bất biến

Cho g là một đại số Lie trên K. Biểu diễn phụ hợp của g trên g và biểu diễn không của g trên K định nghĩa một cấu trúc g-môđun trên K-môđun

$N = \mathscr{L}(g, g; K)$ gồm các dạng song tuyến tính trên $g$ . Nói ngắn gọn, ta nói rằng một dạng song tuyến tính $\beta$ trên $g$ là bất biến nếu nó bất biến dưới biểu diễn $x \mapsto x_N$ . Theo công thức (10), điều kiện cần và đủ để điều này xảy ra là:

\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z])

với mọi $x, y, z$ trong $g$ .

Bây giờ gọi $\mathfrak{d}$ là đại số Lie của các phép dẫn xuất của $g$ . Biểu diễn đồng nhất của $\mathfrak{d}$ và biểu diễn không của $\mathfrak{d}$ trên K định nghĩa một biểu diễn $D \mapsto D_N$ của $\mathfrak{d}$ trên $N$ . Nói ngắn gọn, ta nói rằng một dạng song tuyến tính trên $g$ là hoàn toàn bất biến nếu nó bất biến dưới biểu diễn $D \mapsto D_N$ . Một dạng song tuyến tính hoàn toàn bất biến là bất biến. Để một dạng song tuyến tính $\beta$ trên $g$ là hoàn toàn bất biến, điều kiện cần và đủ là:

\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0

với mọi $x, y$ trong $g$ và $D \in \mathfrak{d}$ .

Mệnh đề 7

Cho $g$ là một đại số Lie, $\beta$ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên $g$ và $a$ là một iđêan của $g$ .

(a) Phần tử trực giao $a'$ của $a$ đối với $\beta$ là một iđêan của $g$ .

(b) Nếu $a$ là đặc số và $\beta$ là hoàn toàn bất biến, thì $a'$ là đặc số.

Cho $D$ là một đạo hàm của $g$ . Giả sử rằng $a$ ổn định dưới $D$ và rằng $\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0$ với $x, y$ thuộc $g$ . Khi đó $z \in a'$ kéo theo $Dz \in a'$ , vì, với mọi $t \in a$ , $Dt \in a$ và do đó $\beta(Dz, t) = -\beta(z, Dt) = 0$ . Vậy $a'$ ổn định dưới $D$ . Điều này thiết lập (a) và (b).

Bây giờ cho $b$ là một iđêan của $g$ và giả sử rằng hạn chế của $\beta$ lên $b$ là không. Với $x, y$ thuộc $b$ và $z \in g$ , $\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z]) = 0$ , vì $[y, z] \in b$ . Do đó $[b, b]$ trực giao với $g$ . Nếu $\beta$ không suy biến, thì $b$ do đó là giao hoán. Kết quả này áp dụng cho $a \cap a'$ chứng minh (c).

Định nghĩa 4

Cho $g$ là một đại số $K$ -Lie và $M$ là một $g$ -môđun. Giả sử rằng $M$ , được xem như một $K$ -môđun, thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Dạng song tuyến tính liên kết với $g$ -môđun $M$ (hoặc với biểu diễn tương ứng) là dạng song tuyến tính đối xứng $(x, y) \mapsto \operatorname{Tr}(x_M y_M)$ trên $g$ . Nếu biểu diễn đang xét là biểu diễn phụ hợp, dạng song tuyến tính liên kết được gọi là dạng Killing của $g$ .

Mệnh đề 8

Cho $g$ là một đại số Lie và $M$ là một $g$ -môđun. Giả sử rằng $M$ , được xem như một $K$ -môđun, thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Dạng song tuyến tính liên kết với $M$ là bất biến.

Với $x, y, z$ thuộc $g$ , ta có:

\begin{align*} \operatorname{Tr}([x, y]_M z_M) &= \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(y_M x_M z_M) = \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(x_M z_M y_M) \\ &= \operatorname{Tr}(x_M [y, z]_M). \end{align*}

Mệnh đề 9

Giả sử rằng $K$ là một trường và rằng đại số Lie $g$ là hữu hạn chiều* trên $K$ . *Cho $a$ là một iđêan của $g$ , $\beta$ là dạng Killing của $g$ và $\beta'$ là dạng Killing của $a$ . Khi đó $\beta'$ là hạn chế của $\beta$ lên $a$ .

Cho $u$ là một tự đồng cấu của không gian vectơ $g$ giữ ổn định $a$ . Cho $v$ là hạn chế của $u$ vào $a$ và $w$ là tự đồng cấu của không gian vectơ $g/a$ dẫn xuất từ $u$ khi chuyển qua thương. Khi đó $\operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} v + \operatorname{Tr} w$ như thấy được bằng cách lấy một cơ sở $(x_1, \ldots, x_n)$ của $g$ mà $p$ phần tử đầu tiên lập thành một cơ sở của $a$ . Khi đó cho $x \in a, y \in a$ và áp dụng công thức trên vào trường hợp $u = (\operatorname{ad}_g x)(\operatorname{ad}_g y)$ . Khi đó $v = (\operatorname{ad}_a x)(\operatorname{ad}_a y)$ và $w = 0$ . Suy ra $\beta(x, y) = \beta'(x, y)$ .

Mệnh đề 10

Giả sử rằng $K$ là một trường và đại số Lie $g$ là hữu hạn chiều trên $K$ . Dạng Killing $\beta$ của $g$ là hoàn toàn bất biến.

Cho $D$ là một đạo hàm của $g$ . Tồn tại một đại số Lie $g'$ chứa $g$ như một iđêan có đối chiều 1 và một phần tử $x_0$ của $g'$ sao cho $Dx = [x_0, x]$ với mọi $x \in g$ (§ 1, no. 8, Ví dụ 1). Cho $\beta'$ là dạng Killing của $g'$ . Với $x, y$ trong $g$ , $\beta'([x, x_0], y) = \beta'(x, [x_0, y])$ , nghĩa là $\beta'(Dx, y) + \beta'(x, Dy) = 0$ . Bây giờ hạn chế của $\beta'$ vào $g$ là $\beta$ (Mệnh đề 9). Do đó mệnh đề.

7. Phần tử Casimir

Mệnh đề 11

Cho $g$ là một đại số Lie trên một trường $K$ , $U$ là đại số bao quanh của nó, $h$ là một iđêan hữu hạn chiều của $g$ và $\beta$ là một dạng song tuyến tính bất biến trên $g$ , mà hạn chế của nó vào $h$ là không suy biến. Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq n}, (e'_j)_{1 \leq j \leq n}$ là hai cơ sở của $h$ sao cho $\beta(e_i, e'_j) = \delta_{ij}$ . Khi đó phần tử $c = \sum_{i=1}^n e_i e'_i$ của $U$ thuộc về tâm của $U$ và độc lập với lựa chọn cơ sở $(e_i)$ .

Với $x \in g$ , cho $x_h$ là hạn chế xuống $h$ của $\operatorname{ad}_g x$ . Khi đó $x \mapsto x_h$ là một biểu diễn của $g$ trên không gian vectơ $h$ và hạn chế $\beta'$ của $\beta$ xuống $h$ là bất biến đối với biểu diễn này. Theo no. 5, Ví dụ 3, tenxơ $\sum_{i=1}^n e_i \otimes e'_i$ là độc lập với lựa chọn cơ sở $(e_i)$ và là một phần tử bất biến của đại số tenxơ của $h$ . Nó cũng là một phần tử của đại số tenxơ $T$ của $g$ , đại số này bất biến đối với biểu diễn dẫn xuất từ biểu diễn phụ hợp của $g$ . Ảnh chính tắc của nó trong $U$ , tức là $c$ , do đó độc lập với lựa chọn cơ sở $(e_i)$ và là một bất biến đối với biểu diễn của $g$ trên $U$ được xét ở cuối no. 2. Do đó phần tử này khả hoán với mọi phần tử của $g$ và vì thế thuộc tâm của $U$ .

Khi $\beta$ là dạng song tuyến tính liên kết với một $g$ -môđun $M$ , phần tử $c$ của Mệnh đề 11 được gọi là phần tử Casimir liên kết với $M$ (hoặc với biểu diễn tương ứng). Phần tử này tồn tại nếu hạn chế của $\beta$ xuống $h$ là không suy biến.

Mệnh đề 12

Cho $g$ là một đại số Lie trên một trường $K$ , $h$ là một iđêan của $g$ có số chiều hữu hạn n và M là một g-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Cho c là phần tử Casimir (giả sử tồn tại) liên kết với M và h.

(a) $\operatorname{Tr}(c_M) = n$ . (b) Nếu M là đơn và n không chia hết cho đặc số của K, $c_M$ là một tự đẳng cấu của M.

Theo ký hiệu của Mệnh đề 11,

\operatorname{Tr}(c_M) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Tr}((e_i)_M(e'_i)_M) = \sum_{i=1}^n \beta(e_i, e'_i) = n.

Do đó, nếu n không chia hết cho đặc số của K, $c_M \neq 0$ . Mặt khác, vì c thuộc tâm của U, $c_M$ khả hoán với mọi $x_M, x \in g$ . Nếu thêm M là đơn, $c_M$ do đó khả nghịch trong $\mathscr{L}(M)$ (Đại số, Chương VIII, § 4, no. 3, Mệnh đề 2).

8. Mở rộng vành cơ sở

Cho $K_1$ là một vành giao hoán có phần tử đơn vị và $\phi$ là một đồng cấu của K vào $K_1$ ánh xạ 1 thành 1. Cho g là một đại số Lie trên K, U là đại số bao của nó và M là một g-môđun trái, tức là một U-môđun trái. Khi đó $M_{(K_1)}$ có một cấu trúc môđun trái chính tắc $U_{(K_1)}$ và do đó một cấu trúc g-môđun trái $g_{(K_1)}$ . Gọi $\rho$ và $\rho_{(K_1)}$ là các biểu diễn của g và $g_{(K_1)}$ tương ứng với M và $M_{(K_1)}$ : $\rho_{(K_1)}$ được nói là dẫn xuất từ $\rho$ bằng cách mở rộng vành cơ sở và các kết quả của Đại số, Chương VIII, § 13, no. 4 có thể được áp dụng. Nếu $x \in g$ , $\rho_{(K_1)}(x)$ chỉ là tự đồng cấu $\rho(x) \otimes 1$ của $M_{(K_1)} = M \otimes_K K_1$ .

Giả sử K là một trường, $K_1$ là một mở rộng của K và $\phi$ là đơn ánh chính tắc của K vào $K_1$ . Cho V và V' là các không gian con vectơ của M. Gọi a là không gian con vectơ của g gồm các $x \in g$ sao cho $\rho(x)(V) \subset V'$ . Gọi $a'$ là không gian con vectơ của $g_{(K_1)}$ gồm các $x' \in g_{(K_1)}$ sao cho $\rho_{(K_1)}(x')(V_{(K_1)}) \subset V'_{(K_1)}$ . Khi đó $a' = a_{(K_1)}$ . Vì rõ ràng $a_{(K_1)} \subset a'$ . Bây giờ cho $x' \in a'$ . Ta có thể viết $x' = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$ , trong đó các $x_i$ thuộc g và các $\lambda_i$ là các phần tử của $K_1$ độc lập tuyến tính trên K. Với mọi $u \in V$ , $\rho(x') \cdot u \in V'_{(K_1)}$ , tức là $\sum_{i=1}^n \lambda_i \rho(x_i) \cdot u \in V'_{(K_1)}$ , do đó $\rho(x_i) \cdot u \in V'$ , suy ra $x_i \in a$ và $x' \in a_{(K_1)}$ . Điều này chứng minh rằng $a' = a_{(K_1)}$ . Đặc biệt, tâm của $g_{(K_1)}$ được dẫn xuất từ tâm của g bằng cách mở rộng K thành $K_1$ : chỉ cần áp dụng điều trên cho biểu diễn liên hợp của g. Suy ra rằng $\mathscr{C}_p(g_{(K_1)}) = (\mathscr{C}_p g)_{(K_1)}$ với mọi $p$ . Tương tự, cho h là một đại số con của g và n là bộ chuẩn hóa của h trong g. Khi đó bộ chuẩn hóa của $h_{(K_1)}$ trong $g_{(K_1)}$ là $n_{(K_1)}$ .

Cho K, $K_1$ , g, $\rho$ , M như trong đoạn trước. Cho b là một không gian con vectơ của g và W là một không gian con vectơ của M. Gọi V là không gian con vectơ của M gồm các $m \in M$ sao cho $\rho(b) \cdot m \subset W$ . Gọi V' là không gian con vectơ của $M_{(K_1)}$ gồm các $m' \in M_{(K_1)}$ sao cho $\rho_{(K_1)}(b_{(K_1)}) \cdot m' \subset W_{(K_1)}$ . Như trên ta thấy rằng $V' = V_{(K_1)}$ . Đặc biệt, không gian con vectơ các phần tử bất biến của $M_{(K_1)}$ được dẫn xuất từ không gian con vectơ các phần tử bất biến của M bằng cách mở rộng trường cơ sở từ $K$ thành $K_1$ .

Cho $K, K_1$ và $\phi$ như ở đầu số này. Cho $g$ là một đại số Lie $K$ và M và N là các g-môđun. Nếu M và N là các g-môđun đẳng cấu, thì $M_{(K_1)}$ và $N_{(K_1)}$ là các $g_{(K_1)}$ -môđun đẳng cấu. Ngược lại:

Mệnh đề 13

Cho $K$ là một trường, $K_1$ là một mở rộng của $K$ , $g$ là một đại số Lie trên $K$ và $M, N$ là hai $g$ -môđun có số chiều hữu hạn trên $K$ . Nếu $M_{(K_1)}$ và $N_{(K_1)}$ là các $g_{(K_1)}$ -môđun đẳng cấu, thì $M$ và $N$ là các $g$ -môđun đẳng cấu.

Chứng minh gồm hai bước.

(1) Trước hết giả sử rằng $K_1$ là một mở rộng của $K$ có bậc hữu hạn $n$ . Gọi $U$ là đại số bao quanh của $g$ , sao cho đại số bao quanh của $g_{(K_1)}$ là $U_{(K_1)} = U \otimes_K K_1$ (§ 2, no. 9). Vì $M_{(K_1)}$ và $N_{(K_1)}$ đẳng cấu như các $U_{(K_1)}$ -môđun nên chúng a fortiori đẳng cấu như các $U$ -môđun; nhưng như các $U$ -môđun chúng lần lượt đẳng cấu với $M^n$ và $N^n$ . Bây giờ $M$ và $N$ là các $U$ -môđun có độ dài hữu hạn; do đó $M$ (tương ứng $N$ ) là tổng trực tiếp của một họ $(P_i^{r_i})_{1 \leq i \leq p}$ (tương ứng $(Q_j^{s_j})_{1 \leq j \leq q}$ ) các môđun con sao cho các $P_i$ (tương ứng $Q_j$ ) là không phân tích được và hai $P_i$ (tương ứng $Q_j$ ) có các chỉ số khác nhau thì không đẳng cấu (Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Định lý 1). Khi đó $M^n$ (tương ứng $N^n$ ) đẳng cấu với tổng trực tiếp của các $P_i^{n r_i}$ (tương ứng $Q_j^{n s_j}$ ); suy ra (loc. cit.) rằng $p = q$ và rằng sau khi hoán vị các $Q_j$ nếu cần thiết thì $n r_i = n s_i$ và $P_i$ đẳng cấu với $Q_i$ với $1 \leq i \leq p$ , do đó $M$ đẳng cấu với $N$ .

(2) Trường hợp tổng quát. Cho $P$ là $g$ -môđun $\mathscr{L}_K(M, N)$ và $Q$ là không gian con các bất biến của $P$ , nghĩa là tập hợp các đồng cấu của $g$ -môđun $M$ vào $g$ -môđun $N$ . Trong $g_{(K_1)}$ -môđun $\mathscr{L}_{K_1}(M_{(K_1)}, N_{(K_1)}) = (\mathscr{L}_K(M, N))_{(K_1)}$ , không gian con các bất biến là $Q_{(K_1)}$ . Giả thiết rằng $M_{(K_1)}$ và $N_{(K_1)}$ đẳng cấu suy ra rằng $M$ và $N$ có cùng chiều trên $K$ và rằng tồn tại trong $Q_{(K_1)}$ một phần tử $g$ là một đẳng cấu của $M_{(K_1)}$ lên $N_{(K_1)}$ . Cho $(f_1, \ldots, f_d)$ là một cơ sở của $Q$ trên $K$ và chọn các cơ sở của $M$ và $N$ trên $K$ . Nếu $\lambda_k \in K_1$ cho $1 \leq k \leq d$ , ma trận của $f = \sum_{k=1}^d \lambda_k f_k$ đối với các cơ sở này có định thức là một đa thức $D(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)$ với các hệ số trong $K$ . Khi $f = g$ , định thức này khác không và do đó các hệ số của $D$ không phải tất cả đều khác không. Vì vậy, nếu $\Omega$ là bao đóng đại số của $K$ , tồn tại (vì $\Omega$ là vô hạn) các phần tử $\mu_k \in \Omega$ $(1 \leq k \leq d)$ sao cho $D(\mu_1, \ldots, \mu_d) \neq 0$ (Đại số, Chương IV, § 2, no. 5, Mệnh đề 8). Nếu $K_2$ là mở rộng đại số của $K$ sinh bởi các $\mu_k$ $(1 \leq k \leq d)$ , thì suy ra rằng $\sum_{k=1}^d \mu_k f_k$ là một đẳng cấu của $M_{(K_2)}$ lên $N_{(K_2)}$ ; nhưng $K_2$ có bậc hữu hạn trên $K$ (Đại số, Chương V, § 3, no. 2, Mệnh đề 5) và do đó $M$ và $N$ đẳng cấu theo phần thứ nhất của lập luận. :::

Lại cho $K, K_1$ và $\phi$ như ở đầu số này. Cho $\rho$ là một biểu diễn của $g$ trên một $K$ -môđun $M$ với một cơ sở hữu hạn $(x_1, \ldots, x_n)$ . Khi đó dạng song tuyến tính trên $g_{(K_1)}$ liên kết với $\rho_{(K_1)}$ được dẫn xuất từ dạng song tuyến tính liên kết với $\rho$ bằng cách mở rộng vành cơ sở đến $K_1$ (vì, nếu $u \in \mathscr{L}_K(M)$ , $u$ có cùng ma trận đối với $(x_1, \ldots, x_n)$ như $u \otimes 1$ đối với $(x_1 \otimes 1, \ldots, x_n \otimes 1)$ và do đó $u$ và $u \otimes 1$ có cùng vết). Đặc biệt, nếu $K$ -môđun $g$ có một cơ sở hữu hạn, dạng Killing của $g_{(K_1)}$ được dẫn xuất từ dạng đó của $g$ bằng cách mở rộng vành cơ sở đến $K_1$ .

Bài tập

Xem các bài tập cho § 3.