Bài tập 5, § 2

Giả sử rằng $\mathbf{K}$ có đặc số $p > 0$ ($p$ nguyên tố). Cho $g$ là một đại số Lie trên $\mathbf{K}$ với một cơ sở, được đồng nhất một cách chính tắc với một môđun con của đại số bao quanh của nó $U$. Đối với một tự đồng cấu $\phi$ của $\mathbf{K}$-môđun $g$ để là một ánh xạ p, điều kiện cần và đủ là $x \mapsto x^p - \phi(x)$ là một ánh xạ nửa tuyến tính (đối với λ ↦ λ^p) từ g vào tâm của U. Suy ra rằng nếu (b_λ) là một cơ sở của g, để tồn tại một ánh xạ p trên g, điều kiện cần và đủ là, với mọi λ, tồn tại c_λ ∈ g sao cho (ad b_λ)^p = ad c_λ; nếu điều này đúng, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ p x ↦ x^{[p]} sao cho b_λ^{(p)} = c_λ với mọi λ.