Exercice 5, § 2

On suppose que K est de caractéristique $p > 0$ (p premier). Soit g une algèbre de Lie sur K ayant une base, identifiée canoniquement à un sous-module de son algèbre enveloppante U. Pour qu’un endomorphisme $\varphi$ du K-module g soit une p-application, il faut et il suffit que $x \mapsto x^p - \varphi(x)$ soit une application semi-linéaire (pour $\lambda \mapsto \lambda^p$) de g dans le centre de U. En déduire que si $(b_\lambda)$ est une base de g, pour qu’il existe dans g une p-application, il faut et il suffit que, pour tout $\lambda$, il existe $c_\lambda \in g$ tel que $(\mathrm{ad}\ b_\lambda)^p = \mathrm{ad}\ c_\lambda$; s’il en est ainsi, il existe alors une p-application $x \mapsto x^{[p]}$ et une seule telle que $b_\lambda^{[p]} = c_\lambda$ pour tout $\lambda$.