Bài tập 6, § 2

Cho g là một đại số Lie p trên một vành K sao cho pK = {0} (p nguyên tố), U là đại số bao của nó và σ là ánh xạ chính tắc của g vào U. Cho J là iđêan hai phía của U sinh bởi các phần tử (σ(x))^p − σ(x^{[p]}) trong đó x chạy qua g. Đại số kết hợp Ũ = U/J được gọi là đại số bao hạn chế của g. Ánh xạ σ xác định khi chuyển qua thương một ánh xạ ŝ (gọi là chính tắc) của g vào Ũ, là một p-đồng cấu (khi coi Ũ là một đại số Lie p).

(a) Đại số Ũ và ánh xạ ŝ là các nghiệm của một bài toán ánh xạ phổ quát: với mọi p-đồng cấu f của g vào một đại số kết hợp B trên K (được coi là một đại số Lie p), tồn tại một và chỉ một K-đồng cấu f' của Ũ vào B (với các cấu trúc đại số kết hợp của chúng) sao cho f = f' ∘ ŝ.

(b) Chứng minh rằng, nếu (b_λ)_{λ ∈ Λ} là một cơ sở của g (trong đó Λ được sắp thứ tự toàn phần), ŝ là đơn ánh và rằng, nếu đồng nhất x và ŝ(x) với x ∈ g, các phần tử Π_λ b_λ^{ν_λ} (trong đó các λ theo thứ tự tăng, các ν_λ bằng không ngoại trừ một số hữu hạn và 0 ≤ ν_λ < p với mọi λ) lập thành một cơ sở của Ũ. (Một cách chính tắc đồng nhất g với một môđun con của U, ta viết φ(x) = x^p − x^{[p]} với mọi x ∈ g. Với mọi chỉ số hợp thành α = (α_λ) ∈ N^{(L)}, đặt α_λ = β_λ + pγ_λ với 0 ≤ β_λ < p và đặt

Chứng minh rằng các T_α lập thành một cơ sở của U và các T_α sao cho γ = (γ_λ) ≠ 0 lập thành một cơ sở của J; nhận xét rằng các φ(b_λ) thuộc tâm của U.)