Exercice 6, § 2

Soient g une p-algèbre de Lie sur un anneau K tel que $pK = \{ 0 \}$ (p premier), U son algèbre enveloppante, $\sigma$ l’application canonique de g dans U. Soit J l’idéal bilatère de U engendré par les éléments $(\sigma(x))^p - \sigma(x^{[p]})$ lorsque x parcourt g. On appelle algèbre enveloppante restreinte de g l’algèbre associative $\tilde{U} = U/J$. L’application $\sigma$ définit par passage au quotient une application $\tilde{\sigma}$ (dite canonique) de g dans $\tilde{U}$, qui est un p-homomorphisme (lorsque $\tilde{U}$ est considérée comme une p-algèbre de Lie).

a) L’algèbre $\tilde{U}$ et l’application $\tilde{\sigma}$ sont solutions d’un problème d’application universelle : pour tout p-homomorphisme $f$ de g dans une algèbre associative B sur K (considérée comme p-algèbre de Lie), il existe un K-homomorphisme et un seul $f'$ de $\tilde{U}$ dans B (pour les structures d’algèbres associatives) tel que $f = f' \circ \tilde{\sigma}$.

b) Montrer que, si $(b_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ est une base de g ($\Lambda$ étant totalement ordonné), $\tilde{\sigma}$ est injective, et que, si on identifie $x$ et $\tilde{\sigma}(x)$ pour $x \in g$, les éléments $\Pi_{\lambda} b_{\lambda}^{v_{\lambda}}$ (où les $\lambda$ vont en croissant, où les $v_{\lambda}$ sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux, et où $0 \leq v_{\lambda} < p$ pour tout $\lambda$) forment une base de $\tilde{U}$. (Identifiant canoniquement $g$ à un sous-module de $U$, on pose $\varphi(x) = x^p - x^{[p]}$ pour tout $x \in g$. Pour tout indice composé $\alpha = (\alpha_{\lambda}) \in \mathbf{N}^{(L)}$, soit $\alpha_{\lambda} = \beta_{\lambda} + p \gamma_{\lambda}$ avec $0 \leq \beta_{\lambda} < p$, et soit $T_{\alpha} = (\Pi_{\lambda} b_{\lambda}^{\beta_{\lambda}})(\Pi_{\lambda}(\varphi(b_{\lambda}))^{\gamma_{\lambda}})$. Montrer que les $T_{\alpha}$ forment une base de $U$ et les $T_{\alpha}$ tels que $\gamma = (\gamma_{\lambda}) \neq 0$ une base de $J$; on observera que les $\varphi(b_{\lambda})$ appartiennent au centre de $U$.