Bài tập 7, § 2

Cho g là một đại số Lie p trên một vành K sao cho pK = {0} (p nguyên tố). Một đạo hàm D của g được gọi là một p-đạo hàm nếu D(x^p) = (ad x)^{p−1}. Dx với mọi x ∈ g. Mọi đạo hàm nội đều là một p-đạo hàm.

(a) Nếu L là một đại số kết hợp trên K, thì mọi đạo hàm của L đều là một p-đạo hàm khi coi L như một đại số Lie p. (Dùng công thức (2) của Bài tập 19 ở § 1.)

(b) Giả sử rằng g có một cơ sở. Để một đạo hàm của g là một p-đạo hàm, điều kiện cần và đủ là nó có thể được mở rộng thành một đạo hàm của đại số bao hạn chế của g. Suy ra rằng các p-đạo hàm của g tạo thành một đại số Lie p-con của p-đại số các đạo hàm của g.

(c) Nếu D là một p-đạo hàm của g, thì hạt nhân của D là một đại số con p của g.

(d) Với mọi đạo hàm D của g, D(x^p) − (ad x)^{p−1}. Dx thuộc tâm của g với mọi x ∈ g (dùng công thức (2) của Bài tập 19 ở § 1, áp dụng cho L = $\mathscr{L}(g)$).