Exercice 7, § 2

Soit $g$ une $p$-algèbre de Lie sur un anneau $K$ tel que $pK = \{ 0 \}$ ($p$ premier). On dit qu’une dérivation $D$ et $g$ est une $p$-dérivation si on a $D(x^p) = (\mathrm{ad}\ x)^{p-1}. Dx$ pour tout $x \in g$. Toute dérivation intérieure est une $p$-dérivation.

a) Si $L$ est une $K$-algèbre associative, toute dérivation de $L$ est une $p$-dérivation lorsque $L$ est considérée comme $p$-algèbre de Lie. (Utiliser la formule (2) de l’exerc. 19 du § 1.)

b) Supposons que $g$ ait une base. Pour qu’une dérivation de $g$ soit une $p$-dérivation, il faut et il suffit qu’elle puisse se prolonger en une dérivation de l’algèbre enveloppante restreinte de $g$. En déduire que les $p$-dérivations de $g$ forment une $p$-sous-algèbre de Lie de la $p$-algèbre des dérivations de $g$.

c) Si $D$ est une $p$-dérivation de $g$, le noyau de $D^k$ est une $p$-sous-algèbre de $g$.

d) Pour toute dérivation $D$ de $g$, $D(x^p) - (\mathrm{ad}\ x)^{p-1}. Dx$ appartient au centre de $g$ pour tout $x \in g$ (utiliser la formule (2) de l’exerc. 19 du § 1, appliquée à $L = \mathscr{L}(g)$).