Bài tập 9, § 2

Cho k là trường có hai phần tử, V là không gian vectơ $k^3$, $(x_1, x_2, x_3)$ là cơ sở chính tắc của nó và K là đại số ngoài của V, là một đại số giao hoán 8 chiều trên k. Cho g là đại số Lie K có cơ sở $(e_1, e_2, e_3, e_{12}, e_{13}, e_{23})$ sao cho

và các móc khác đều bằng không. Cho $\mathfrak{h}$ là iđêan của g sinh bởi $u = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3$. Như một môđun, $\mathfrak{h}$ được sinh bởi u, $[u, e_1] = x_2 e_{12} + x_3 e_{13}$, $[u, e_2] = x_1 e_{12} + x_3 e_{23}$, $[u, e_3] = x_1 e_{13} + x_2 e_{23}$. Cho (a) Chứng minh rằng $v \notin \mathfrak{h}$. (Xét dạng tuyến tính K-trên g sao cho $\phi(e_1) = \phi(e_2) = \phi(e_3) = 0, \phi(e_{12}) = x_3, \phi(e_{13}) = x_2, \phi(e_{23}) = x_1.$) (b) Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ g vào một đại số kết hợp K sao cho $f([x, y]) = f(x) f(y) - f(y) f(x)$ với mọi x, y trong g. Chứng minh rằng $f(v) = f(u)^2$. (c) Suy ra từ (a) và (b) rằng ánh xạ chính tắc của đại số Lie $g/\mathfrak{h}$ vào đại số bao của nó không đơn ánh.