Exercice 9, § 2

Soient $k$ le corps à deux éléments, $V$ l’espace vectoriel $k^3$, $(x_1, x_2, x_3)$ sa base canonique, et $K$ l’algèbre extérieure de $V$, qui est une algèbre commutative de dimension 8 sur $k$. Soit $g$ la $K$-algèbre de Lie admettant la base $(e_1, e_2, e_3, e_{12}, e_{13}, e_{23})$ telle que $[e_1, e_2] = [e_2, e_1] = e_{12}, [e_1, e_3] = [e_3, e_1] = e_{13}, [e_2, e_3] = [e_3, e_2] = e_{23}$, les autres crochets étant nuls. Soit $h$ l’idéal de $g$ engendré par $u = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3$. Comme module, $h$ est engendré par $u, [u, e_1] = x_2 e_{12} + x_3 e_{13}, [u, e_2] = x_1 e_{12} + x_3 e_{23}, [u, e_3] = x_1 e_{13} + x_2 e_{23}$. Soit $v = x_1 x_2 e_{12} + x_1 x_3 e_{13} + x_2 x_3 e_{23}$.

a) Montrer que $v \in h$. (Considérer la forme $K$-linéaire $\varphi$ sur $g$ telle que $\varphi(e_1) = \varphi(e_2) = \varphi(e_3) = 0, \varphi(e_{12}) = x_3, \varphi(e_{13}) = x_2, \varphi(e_{23}) = x_1$).

b) Soit $f$ une application linéaire de $g$ dans une $K$-algèbre associative telle que $f([x, y]) = f(x)f(y) - f(y)f(x)$ quels que soient $x, y$ dans $g$. Montrer que $f(v) = f(u)^2$.

c) Déduire de a) et b) que l’application canonique de l’algèbre de Lie $g/h$ dans son algèbre enveloppante est non injective.