Bài tập 11, § 4

Cho L là một vành giao hoán, A là một đại số Artin trái trên L và $\gamma$ là một ánh xạ từ $A \times A$ vào L. Định nghĩa trên A luật hợp thành nội tại $(a, b) \mapsto a * b = ab + \gamma(a, b)ba$. Với mọi tập con E của A, ký hiệu $\tilde{E}$ là vành con (không có phần tử đơn vị) của A sinh bởi E. Chứng minh rằng nếu E gồm các phần tử lũy linh và ổn định đối với luật *, thì $\tilde{E}$ là lũy linh (nghĩa là tồn tại $n > 0$ sao cho $\tilde{E}^n = \{0\}$). Tiến hành như sau:

1. Trước hết giả sử rằng A là một vành đơn và do đó đẳng cấu với $\mathscr{L}_D(T)$, trong đó T là một không gian vectơ trái có số chiều hữu hạn m trên một trường D. Lập luận bằng quy nạp theo m. Gọi $\Phi$ là tập hợp các tập con F $\subset$ E ổn định đối với \* và sao cho $\tilde{F}$ là lũy linh. Chứng minh rằng $\Phi$ có một phần tử cực đại M (chú ý rằng $\tilde{F}^m = \{0\}$ với mọi $F \in \Phi$). Giả sử $\tilde{M} \neq \tilde{E}$. Chứng minh rằng tồn tại $a \in E$ sao cho $a \notin \tilde{M}$ và $t * a \in \tilde{M}$ với mọi $t \in M$ (chú ý rằng không thể có một dãy vô hạn $(a_n)$ sao cho $a_n \in E$, $a_n \notin M$, $a_n = t_{n-1} * a_{n-1}$ với $t_{n-1} \in M$). Gọi S là không gian con của T là tổng trực tiếp của các $u(T)$ với $u \in \tilde{M}$; chứng minh rằng $S \neq \{0\}$ và $S \neq T$ và rằng $a(S) \subset S$. Gọi N là tập hợp các $v \in E$ sao cho $v(S) \subset S$. Bằng cách sử dụng giả thiết quy nạp và xét các phần tử của N như các toán tử trên S và trên T/S, chứng minh rằng $N \in \Phi$, điều này dẫn đến một mâu thuẫn.

2. Trong trường hợp tổng quát, sử dụng sự kiện rằng căn Jacobson của A là lũy linh. Suy ra từ kết quả này một chứng minh mới của Định lý Engel.