Exercice 11, § 4

Soient $L$ un anneau commutatif, $A$ une algèbre artinienne à gauche sur $L$, $\gamma$ une application de $A \times A$ dans $L$. On définit dans $A$ la loi de composition interne $(a, b) \mapsto a * b = ab + \gamma(a, b)ba$. Pour toute partie $E$ de $A$, on désigne par $\tilde{E}$ le sous-anneau (sans élément unité) de $A$ engendré par $E$. Montrer que, si $E$ est formé d’éléments nilpotents et est stable pour la loi $*$, alors $\tilde{E}$ est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe $n > 0$ tel que $\tilde{E}^n = \{0\}$). On pourra procéder de la façon suivante :

1° Supposons d’abord que $A$ soit un anneau simple, donc isomorphe à $\mathscr{L}_D(T)$, où $T$ est un espace vectoriel à gauche de dimension finie $m$ sur un corps $D$. On raisonne par récurrence sur $m$. Soit $\Phi$ l’ensemble des parties $F \subset E$ stables pour $*$ et telles que $\tilde{F}$ soit nilpotent. Montrer que $\Phi$ admet un élément maximal $M$ (remarquer que $\tilde{F}^m = \{0\}$ pour tout $F \in \Phi$). Supposons $\tilde{M} \neq \tilde{E}$. Montrer qu’il existe un $a \in E$ tel que $a \notin \tilde{M}$ et $t * a \in \tilde{M}$ pour tout $t \in M$ (observer qu’il ne peut y avoir de suite infinie $(a_n)$ telle que $a_n \in E, a_n \notin M, a_n = t_{n-1} * a_{n-1}$ avec $t_{n-1} \in M$). Soit $S$ le sous-espace de $T$ somme des $u(T)$ avec $u \in \tilde{M}$; montrer que $S \neq \{0\}$ et $S \neq T$, et que l’on a $a(S) \subset S$. Soit $N$ l’ensemble des $v \in E$ tels que $v(S) \subset S$. En utilisant l’hypothèse de récurrence et considérant les éléments de $N$ comme opérant sur S et sur T/S, montrer que l’on aurait N ∈ Φ, ce qui entraîne contradiction.

2° Dans le cas général, utiliser le fait que le radical de A est nilpotent. Déduire de ce résultat une nouvelle démonstration du th. d’Engel.