Bài tập 13, § 4

Cho $g$ là một đại số Lie và $\mathfrak{z}$ là đại số giao hoán của $\mathscr{C}^\infty g$ trong $g$. Nếu $\mathfrak{z} \not\subset \mathscr{C}^\infty g$, thì $g$ có tâm khác không. (Viết $g = \mathscr{C}^\infty g + \mathfrak{t}$, trong đó $\mathfrak{t}$ là một đại số con lũy linh của $g$ (Bài tập 12). Đặt $g_1 = \mathfrak{z} + \mathfrak{t}$. Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con lũy linh sao cho $g_1 = \mathscr{C}^\infty g_1 + \mathfrak{h}$. Chứng minh rằng $g = \mathscr{C}^\infty g + \mathfrak{h}$ và rằng $\mathscr{C}^\infty g_1 \subset \mathfrak{z} \cap \mathscr{C}^\infty g$. Cho $y$ là một phần tử của $\mathfrak{z}$ không thuộc $\mathscr{C}^\infty g$. Viết $y = x + x'$ với $x \in \mathfrak{h}, x' \in \mathscr{C}^\infty g_1$; khi đó $x \in \mathfrak{z}$ và $x \neq 0$ và do đó $\mathfrak{z} \cap \mathfrak{h}$ là một iđêan khác không của $\mathfrak{h}$; sử dụng Bài tập 3 (a), suy ra rằng tồn tại một phần tử khác không của $g$ giao hoán được với $\mathscr{C}^\infty g$ và $\mathfrak{h}$.)