Exercice 13, § 4

Soient g une algèbre de Lie, $\mathfrak{z}$ le commutant de $C^\infty g$ dans g. Si $\mathfrak{z} \notin C^\infty g$, g a un centre non nul. (Ecrire $g = C^\infty g + \mathfrak{k}$, où $\mathfrak{k}$ est une sous-algèbre nilpotente de g (exerc. 12). Soit $g_1 = \mathfrak{z} + \mathfrak{k}$. Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre nilpotente telle que $g_1 = C^\infty g_1 + \mathfrak{h}$. Montrer que $g = C^\infty g + \mathfrak{h}$ et que $C^\infty g_1 \subset \mathfrak{z} \cap C^\infty g$. Soit y un élément de $\mathfrak{z}$ n’appartenant pas à $C^\infty g$. Ecrire $y = x + x'$ avec $x \in \mathfrak{h}$, $x' \in C^\infty g_1$; on a $x \in \mathfrak{z}$ et $x \neq 0$, donc $\mathfrak{z} \cap \mathfrak{h}$ est un idéal non nul de $\mathfrak{h}$; utilisant l’exerc. 3 a), en déduire qu’il existe un élément non nul de g permutable à $C^\infty g$ et à $\mathfrak{h}$.)