Bài tập 14, § 4

Cho $g$ là một đại số Lie và $\mathfrak{b}$ là một đại số con dưới bất biến của $g$ sao cho đại số tử hóa $\mathfrak{z}(\mathfrak{b})$ của $\mathfrak{b}$ trong $g$ là không.

(a) Đại số tử hóa $\mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b})$ của $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ trong $g$ được chứa trong $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$. (Nếu $\mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}) \not\subset \mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$, $\mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}) \not\subset \mathfrak{b}$ theo Bài tập 13; $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ là một iđêan của $g$ (§ 1, Bài tập 14); đặt $c = \mathfrak{b} + \mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b})$; $c$ là một đại số con, $\mathfrak{b}$ là dưới bất biến trong $c$; $\mathfrak{b}$ là một iđêan của $\mathfrak{b}_1 \subset c$, trong đó $\mathfrak{b} \neq \mathfrak{b}_1$; lấy $y \in \mathfrak{b}_1, y \notin \mathfrak{b}$; $y = x + x'$, trong đó $x \in \mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b})$, $x' \in \mathfrak{b}$; khi đó $x \in \mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}) \cap \mathfrak{b}_1, x \notin \mathfrak{b}$; $\mathfrak{d} = Kx + \mathfrak{b}$ là một đại số con; $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b} = \mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ bởi vì $c \cap \mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}) \subset \mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$, do đó $\mathscr{C}^k \mathfrak{b} \subset \mathscr{C}^k \mathfrak{b}$ với mọi $k$; $\mathfrak{z}(\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}) \cap \mathfrak{b} \not\subset \mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ và do đó tâm của $\mathfrak{d}$ là khác không theo Bài tập 13; a fortiori, $\mathfrak{z}(\mathfrak{b}) \neq \{0\}$, điều này là vô lý.)

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $\mathfrak{D}$ ký hiệu đại số Lie của các phép đạo hàm của $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ và $a$ là tâm của $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$, thì $\dim g \leq \dim \mathfrak{D} + \dim a$ (cho $g$ tác động lên $\mathscr{C}^\infty \mathfrak{b}$ bởi biểu diễn phụ thuộc).