Exercice 14, § 4

Soient g une algèbre de Lie, b une sous-algèbre sous-invariante de g telle que le commutant $\mathfrak{z}(b)$ de b dans g soit nul.

a) Le commutant $\mathfrak{z}(C^\infty b)$ de $C^\infty b$ dans g est contenu dans $C^\infty b$. (Si $\mathfrak{z}(C^\infty b) \notin C^\infty b$, $\mathfrak{z}(C^\infty b) \notin b$ d’après l’exerc. 13 ; $C^\infty b$ est un idéal de g (§ 1, exerc. 14) ; soit $c = b + \mathfrak{z}(C^\infty b)$; c est une sous-algèbre, b est sous-invariante dans c ; b est un idéal dans $b_1 \subset c$, avec $b \neq b_1$; soit $y \in b_1$, $y \notin b$; $y = x + x'$ avec $x \in \mathfrak{z}(C^\infty b)$, $x' \in b$; on a $x \in \mathfrak{z}(C^\infty b) \cap b_1$, $x \notin b$; $\mathfrak{d} = Kx + b$ est une sous-algèbre ; $C^\infty \mathfrak{d} = C^\infty b$ parce que $c \cap \mathfrak{z}(C^\infty b) \subset C^\infty b$, d’où $C^k \mathfrak{d} \subset C^k b$ pour tout $k$; $\mathfrak{z}(C^\infty \mathfrak{d}) \cap \mathfrak{d} \notin C^\infty \mathfrak{d}$, donc le centre de $\mathfrak{d}$ est non nul d’après l’exerc. 13 ; a fortiori, $\mathfrak{z}(b) \neq \{0\}$, ce qui est absurde.)

b) Déduire de a) que, en désignant par $\mathscr{D}$ l’algèbre de Lie des dérivations de $C^\infty b$, et par $\alpha$ le centre de $C^\infty b$, on a $\dim g \leq \dim \mathscr{D} + \dim \alpha$ (faire opérer g dans $C^\infty b$ par la représentation adjointe).