Bài tập 17, § 4

Ta xét lại đại số Lie $g_3$ của Bài tập 9 (a) với cơ sở $(x_1, x_2, x_3)$.

(a) Cho V là không gian vectơ K[X]. Cho D là toán tử vi phân theo X trên V và M là toán tử phép nhân với X trên V. Chứng minh rằng nếu K có đặc số 0 thì ánh xạ

là một biểu diễn đơn vô hạn chiều $\rho$ của g trên V.

(b) Nếu K có đặc số $p > 0$, iđêan $(X^p)$ của K[X] là ổn định dưới $\rho(g)$. Đối với biểu diễn thương của g trên $K[X]/(X^p)$, không có đường thẳng nào là ổn định.