Exercice 17, § 4

On reprend l’algèbre de Lie $g_3$ de l’exerc. 9 a) et sa base $(x_1, x_2, x_3)$. a) Soit V l’espace vectoriel $K[X]$. Soient D l’opérateur de dérivation par rapport à X dans V, M l’opérateur de multiplication par X dans V. Montrer que, si K est de caractéristique 0, l’application

est une représentation simple de dimension infinie $\rho$ de g dans V. b) Si K est de caractéristique $p > 0$, l’idéal $(X^p)$ de $K[X]$ est stable pour $\rho(g)$. Pour la représentation quotient de g dans $K[X]/(X^p)$, aucune droite n’est stable.