Bài tập 18, § 4

Cho g là một không gian vectơ chiều 7 trên K với cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq 7}$. Một phép ngoặc phản xứng được xác định trên g bởi các công thức:

(1)

và tất cả các ngoặc khác $[e_i, e_j]$ đều bằng không với $i < j$.

(a) Để đồng nhất thức Jacobi được thỏa mãn, điều kiện cần và đủ là:

(2)

(3)

(b) Từ đây trở đi, giả sử rằng tất cả các $\alpha_{ij}$ đều $\neq 0$. Chứng minh rằng các iđêan $\mathscr{C}^2g, \mathscr{C}^3g, \mathscr{C}^4g, \mathscr{C}^5g, \mathscr{C}^6g$ có các cơ sở sau: $(e_3, e_4, e_5, e_6, e_7)$, $(e_4, e_5, e_6, e_7)$, $(e_5, e_6, e_7)$, $(e_6, e_7)$, $(e_7)$. Chứng minh rằng bộ tập trung $h$ của $\mathscr{C}^6g$ có cơ sở $(e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7)$.

(c) Cho $(e'_i)_{1 \leq i \leq 7}$ là một cơ sở khác của g sao cho $\mathscr{C}^6g$ có cơ sở $(e'_7)$, $\mathscr{C}^5g$ có cơ sở $(e'_6, e'_7)$, $\ldots$, $h$ có cơ sở $(e'_2, e'_3, e'_4, e'_5, e'_6, e'_7)$. Chứng minh rằng

trong đó

(d) Suy ra rằng, nếu K là vô hạn, tồn tại vô số đại số Lie lũy linh chiều 7 trên K không đẳng cấu đôi một và rằng tồn tại các đại số Lie lũy linh phức không thể thu được từ các đại số Lie lũy linh thực bằng cách mở rộng trường cơ sở từ $\mathbf{R}$ đến $\mathbf{C}$.