Soit g un espace vectoriel de dimension 7 sur K, admettant une base (ei)1≤i≤7. On définit un crochet alterné sur g par les formules : (1)
[ei,ej]=αijei+j(1≤i<j≤7,i+j≤7), tous les autres crochets
[ei,ej] étant nuls pour
i<j. a) Pour que l’identité de Jacobi soit vérifiée, il faut et il suffit que : (2)
−α23α15+α13α24=0 (3)
α12α34−α24α16+α14α25=0. b) On suppose désormais tous les
αij=0. Montrer que les idéaux
c2g,c3g,c4g,c5g,c6g admettent les bases suivantes :
(e3,e4,e5,e6,e7),(e4,e5,e6,e7),(e5,e6,e7),(e6,e7),(e7). Montrer que le commutant
h de
c5g admet la base
(e2,e3,e4,e5,e6,e7). c) Soit
(ei′)1≤i≤7 une autre base de g telle que
c6g admette la base
(e7′), que
c5g admette la base
(e6′,e7′),…, que h admette la base
(e2′,e3′,e4′,e5′,e6′,e7′). Montrer que
[ei′,ej′]=αij′ei+j′+βei+j+1′+γei+j+2′+⋯+λe7′, avec
α14′α25′α16′−1α24′−1=α14α25α16−1α24−1. d) En déduire qu’il existe, si K est infini, une infinité d’algèbres de Lie nilpotentes de dimension 7 sur K non isomorphes, et qu’il existe des algèbres de Lie nilpotentes complexes qui ne peuvent se déduire d’algèbres de Lie nilpotentes réelles par extension du corps de base de
R à
C.