Bài tập 19, § 4

Nhóm Lie và đại số Lie, I, 95

(a) Cho g là một đại số Lie. Gọi $\mathfrak{D}$ là đại số Lie của các đạo hàm của g. Các iđêan đặc số $g^{[k]}$ của g được định nghĩa quy nạp như sau: $g^{[0]} = g$ và $g^{[k+1]}$ là không gian con của g sinh bởi các Dx ( $D \in \mathfrak{D}, x \in g^{[k]}$ ). Các điều kiện sau là tương đương: (1) mọi đạo hàm của g đều lũy linh; (2) $g^{[k]} = \{0\}$ với k đủ lớn; (3) toàn cấu của g là lũy linh. Nếu chúng được thỏa mãn, g được gọi là lũy linh đặc trưng. Một đại số như vậy là lũy linh.

(b) Kiểm chứng rằng một đại số Lie 8 chiều được xác định bởi bảng phép nhân sau:

[x_1, x_2] = x_3,\quad [x_1, x_3] = x_4,\quad [x_1, x_4] = x_5,\quad [x_1, x_5] = x_6 \\ [x_1, x_6] = x_8,\quad [x_1, x_7] = x_8,\quad [x_2, x_3] = x_5,\quad [x_2, x_4] = x_6 \\ [x_2, x_5] = x_7,\quad [x_2, x_6] = 2x_8,\quad [x_3, x_4] = -x_7 + x_8,\quad [x_3, x_5] = -x_8

và $[x_i, x_j] = 0$ với $i + j > 8$ . Chứng minh rằng

\mathscr{C}^2g = \sum_{i=3}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^3g = \sum_{i=4}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^4g = \sum_{i=5}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^5g = \sum_{i=6}^8 Kx_i,

\mathscr{C}^6g = Kx_8,\quad \mathscr{C}^7g = \{0\},\quad [\mathscr{C}^2g, \mathscr{C}^2g] = Kx_7 + Kx_8,

và rằng toán tử chuyển của $\mathscr{C}^2g$ vào $\mathscr{C}^4g$ là $\sum_{i=2}^8 Kx_i$ . Suy ra rằng mọi đạo hàm D của g được xác định bởi các công thức $Dx_i = \sum_{j=1}^8 u_{ij}x_j$ . Sau đó chứng minh rằng $u_{ii} = 0$ với mọi i nếu đặc số của K khác 2, từ đó g là lũy linh đặc trưng.

(c) Nếu đặc số của K là $\neq 2$ , chứng minh rằng đại số Lie g ở (b) không phải là đại số Lie dẫn xuất của bất kỳ đại số Lie nào. (Nếu $g = \mathscr{D}\mathfrak{h}$ , trước hết chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là lũy linh. Nhận xét rằng $\dim g/\mathscr{D}g = 2$ , điều này cùng với Bài tập 7 (c) dẫn đến một mâu thuẫn.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.