Exercice 19, § 4

a) Soit g une algèbre de Lie. Soit $\mathfrak{D}$ l’algèbre de Lie des dérivations de g. On définit par récurrence les idéaux caractéristiques $g^{[k]}$ de g de la manière suivante : $g^{[0]} = g$, et $g^{[k+1]}$ est le sous-espace de g engendré par les $Dx$ ($D \in \mathfrak{D}, \; x \in g^{[k]}$). Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) toute dérivation de g est nilpotente ; 2) $g^{[k]} = \{0\}$ pour k assez grand ;

3) l’holomorphe de g est nilpotent. Si elles sont remplies, on dit que g est caractéristiquement nilpotente. Une telle algèbre est nilpotente.

b) Vérifier qu’on définit une algèbre de Lie de dimension 8 par la table de multiplication suivante:

et $[x_i, x_j] = 0$ pour $i + j > 8$. Montrer que

et que le transporteur de $c^2g$ dans $c^4g$ est $\sum_{i=2}^8 Kx_i$. En déduire que toute dérivation D de g est définie par des formules $Dx_i = \sum_{i=j}^8 u_{ij}x_j$. Montrer ensuite que $u_{ii} = 0$ pour tout i si la caractéristique de K est différente de 2, de sorte que g est caractéristiquement nilpotente.

c) Si la caractéristique de K est $\neq 2$, montrer que l’algèbre de Lie g de b) n’est l’algèbre de Lie dérivée d’aucune algèbre de Lie. (Si $g = \mathscr{O}\mathfrak{h}$, montrer d’abord que $\mathfrak{h}$ est nilpotente. Observer que $\dim g/\mathscr{O}g = 2$, ce qui, avec l’exerc. 7 c), conduit à une contradiction.)