Bài tập 2, § 4

Cho $g$ là một tích nửa trực tiếp của một đại số $b$ có chiều 1 và một iđêan giao hoán $g'$. Cho $x \in b, x \neq 0$, và $u$ là hạn chế của $\mathrm{ad}_x x$ trên $g'$. (a) Để $g$ lũy linh, điều kiện cần và đủ là $u$ lũy linh. (b) Để dạng Killing của $g$ bằng không, điều kiện cần và đủ là $\mathrm{Tr}(u^2) = 0$. (c) Suy ra từ (a) và (b) rằng tồn tại các đại số Lie không lũy linh có các dạng Killing bằng không. (d) Suy ra từ (a) rằng trong một đại số Lie lũy linh sao cho $\mathscr{C}^{p-1} g \neq \{0\}$, $\mathscr{C}^p g = \{0\}$ có thể xảy ra rằng $\mathscr{C}_i g \neq \mathscr{C}^{p-i} g$.