Exercice 2, § 4

Soit $g$ un produit semi-direct d’une algèbre $\mathfrak{h}$ de dimension 1 et d’un idéal commutatif $g'$. Soient $x \in \mathfrak{h}$, $x \neq 0$, et $u$ la restriction de $\operatorname{ad}_g x$ à $g'$. a) Pour que $g$ soit nilpotente, il faut et il suffit que $u$ soit nilpotent. b) Pour que la forme de Killing de $g$ soit nulle, il faut et il suffit que $\operatorname{Tr}(u^2) = 0$. c) Déduire de a) et b) qu’il existe des algèbres de Lie non nilpotentes dont la forme de Killing est nulle. d) Déduire de a) que, dans une algèbre de Lie nilpotente telle que $C^{p-1} g \neq \{0\}$, $C^p g = \{0\}$, on peut avoir $C_i g \neq C^{p-i} g$.