Bài tập 20, § 4

Cho g là một đại số Lie và U là đại số bao của nó.

(a) Cho $g'$ là một iđêan của g, $U' \subset U$ là đại số bao của nó, $x \in g$ và $a_1, \ldots, a_n$ thuộc U. Giả sử rằng $a_i = x$ đối với các chỉ số $j_1, \ldots, j_p$ và $a_i \in U'$ đối với các chỉ số còn lại (gọi $k_1, \ldots, k_q$ là các chỉ số này, với $k_1 < k_2 < \cdots < k_q$). Khi đó $a_1a_2 \ldots a_n - x^pa_{k_1}a_{k_2} \ldots a_{k_q}$ là một tổng các số hạng có dạng $x^{p'}b$, trong đó $b \in U'$ và $p' < p$. (Lập luận bằng quy nạp theo $p$.)

(b) Từ nay giả sử rằng g là lũy linh và K có đặc số 0. Cho $g'$ là một iđêan có đối chiều 1 trong g, $U'$ là đại số bao của nó, x là một phần tử của g không thuộc $g'$ và $U_0$ (tương ứng $U'_0$) là đại số con của U (tương ứng $U'$) bị triệt tiêu bởi một tập hợp $\mathfrak{d}$ các đạo hàm của g (các đạo hàm này mở rộng thành các đạo hàm của U) ánh xạ g vào $g'$. Giả sử rằng $U_0$ được chứa trong tâm của U và $U_0 \not\subset U'$. Chứng minh rằng tồn tại $a_1 \in U'_0,\ a_2 \in U'$ sao cho $a_1 \neq 0$ và $a = xa_1 + a_2 \in U_0$. (Cho $x^mb_m + x^{m-1}b_{m-1} + \cdots + b_0 \in U_0$ với $b_m, \ldots, b_0$ trong $U'$, $m > 0,\ b_m \neq 0$. Chứng minh, sử dụng (a), rằng, với mọi đạo hàm $D \in \mathfrak{d}$ của g, $Db_m = 0,\ m(Dx)b_m + Db_{m-1} = 0$ và do đó $D(mxb_m + b_{m-1}) = 0$.) Chứng minh rằng $U_0$ được chứa trong đại số $K[a, a_1^{-1}, U'_0]$ sinh bởi $a,\ a_1^{-1},\ U'_0$ trong trường các phân thức của $U_0$ (trường này có thể được tạo thành bởi Hệ quả 7 của Định lý 1 của § 2). Suy ra rằng trường các phân thức của $U_0$ là trường sinh bởi $a$ và $U'_0$. Chứng minh rằng $a$ là siêu việt trên $K(U'_0)$.

(c) Cho $\{0\} = g_0 \subset g_1 \subset \ldots \subset g_n = g$ là một dãy các iđêan của $g$ có các số chiều $0, 1, \ldots, n$. Cho $x_j$ là một phần tử của $g_j$ không thuộc $g_{j-1}$. Cho $j_1 < j_2 < \cdots < j_q$ là các chỉ số $j$ sao cho tồn tại trong $U^j$ (đại số bao của $g_j$) một phần tử của tâm $U_0$ của $U$ không thuộc $U^{j-1}$. Theo (b), tồn tại $a_{j1} \in U_0 \cap U^j$ và $a_{j2} \in U^{j-1}$ sao cho $a_{j1} \neq 0$ và $a_j = x_j a_{j1} + a_{j2} \in U_0 \cap U^j$. Chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng

và trường các phân thức của $U_0$ được sinh bởi các phần tử độc lập đại số $a_{j_1}, \ldots, a_{j_q}$. Đặc biệt, trường các phân thức của tâm của $U$ là một mở rộng siêu việt thuần của $K$.