Exercice 20, § 4

Soient g une algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante.

a) Soient $g'$ un idéal de g, $U' \subset U$ son algèbre enveloppante, $x \in g$, et $a_1, \ldots, a_n$ dans U. On suppose $a_i = x$ pour les indices $j_1, \ldots, j_p$, et $a_i \in U'$ pour les autres indices (soient $k_1, \ldots, k_q$ ces indices, avec $k_1 < k_2 < \cdots < k_q$). Alors, $a_1a_2 \ldots a_n - x^{p'}a_{k_1}a_{k_2} \ldots a_{k_q}$ est une somme de termes de la forme $x^{p'}b$, où $b \in U'$ et $p' < p$. (Raisonner par récurrence sur $p$.)

b) On suppose désormais g nilpotente et K de caractéristique 0. Soient $g'$ un idéal de codimension 1 dans g, $U'$ son algèbre enveloppante, x un élément de g n’appartenant pas à $g'$, $U_0$ (resp. $U'_0$) la sous-algèbre de U (resp. $U'$) annulée par un ensemble $D$ de dérivations de g (qui se prolongent en dérivations de U) appliquant g dans $g'$. On suppose $U_0$ contenu dans le centre de U, et $U_0 \not\subset U'$. Montrer qu’il existe $a_1 \in U'_0, a_2 \in U'$ tels que $a_1 \neq 0$ et $a = xa_1 + a_2 \in U_0$. (Soit $x^m b_m + x^{m-1} b_{m-1} + \cdots + b_0 \in U_0$ avec $b_m, \ldots, b_0$ dans $U'$, $m > 0$, $b_m \neq 0$. Montrer, en utilisant a), que, pour toute dérivation $D \in D$ de g, on a $Db_m = 0$, $m(Dx)b_m + Db_{m-1} = 0$, donc $D(mxb_m + b_{m-1}) = 0$.) Montrer que $U_0$ est contenue dans l’algèbre $K[a, a_1^{-1}, U'_0]$ engendrée par $a, a_1^{-1}, U'_0$ dans le corps des fractions de $U_0$ (qu’on peut former d’après le cor. 7 du th. 1 du § 2). En déduire que le corps des fractions de $U_0$ est le corps engendré par $a$ et $U'_0$. Montrer que $a$ est transcendant sur $K(U'_0)$.

c) Soient $\{0\} = g_0 \subset g_1 \subset \cdots \subset g_n = g$ une suite d’idéaux de g de dimensions 0, 1, ..., n. Soit $x_j$ un élément de $g_j$ n’appartenant pas à $g_{j-1}$. Soient $j_1 < j_2 < \cdots < j_q$ les indices $j$ tels qu’il existe dans $U^j$ (algèbre enveloppante de $g_j$) un élément du centre $U_0$ de $U$ n’appartenant pas à $U^{j-1}$. D’après b), il existe $a_{j1} \in U_0 \cap U^j$ et $a_{j2} \in U^{j-1}$ tels que $a_{j1} \neq 0$ et $a_j = x_j a_{j1} + a_{j2} \in U_0 \cap U^j$. Montrer, par récurrence sur $n$, que $U_0 \subset K[a_{j_1}, \ldots, a_{j_q}, a_{j_1}^{-1}, \ldots, a_{j_q}^{-1}]$, et que le corps des fractions de $U_0$ est engendré par les éléments algébriquement indépendants $a_{j_1}, \ldots, a_{j_q}$. En particulier, le corps des fractions du centre de $U$ est extension transcendante pure de $K$.