Bài tập 26, § 4

Cho $G$ là một nhóm và cho $(H_n)_{n \geq 1}$ là một dãy giảm các nhóm con của $G$; giả sử rằng $H_1 = G$ và rằng nếu ta viết $(x, y) = xyx^{-1}y^{-1}$, các quan hệ $x \in H_i,\ y \in H_j$ suy ra $(x, y) \in H_{i+j}$.

(a) Cho $G_i = H_i/H_{i+1}$; chứng minh rằng $G_i$ là giao hoán và rằng ánh xạ $x, y \mapsto (x, y)$ xác định, khi chuyển qua thương, một ánh xạ $\mathbf{Z}$-song tuyến tính từ $G_i \times G_j$ vào $G_{i+j}$.

(b) Cho $\operatorname{gr}(G) = \sum_{i=1}^\infty G_i$ và mở rộng theo tính tuyến tính các ánh xạ $G_i \times G_j \to G_{i+j}$ được xác định trong (a) thành một ánh xạ $\mathbf{Z}$-song tuyến tính từ $\operatorname{gr}(G) \times \operatorname{gr}(G)$ vào $\operatorname{gr}(G)$. Chứng minh rằng $\operatorname{gr}(G)$ là một đại số Lie $\mathbf{Z}$ với ánh xạ này (để kiểm tra đồng nhất thức Jacobi, sử dụng công thức sau:

trong đó $x^y$ biểu thị $yxy^{-1}$ và $e$ biểu thị phần tử đơn vị của $G$.

(c) Giả sử tồn tại $n$ sao cho $H_n = \{e\}$. Chứng minh rằng $\operatorname{gr}(G)$ là một đại số Lie $\mathbf{Z}$ lũy linh.