Exercice 26, § 4

Soit $G$ un groupe, et soit $(H_n)_{n \geq 1}$ une suite décroissante de sous-groupes de $G$; on suppose que $H_1 = G$, et que, si l’on pose $(x, y) = xyx^{-1}y^{-1}$, les relations $x \in H_i, y \in H_j$ entraînent $(x, y) \in H_{i+j}$.

a) Soit $G_i = H_i / H_{i+1}$; montrer que $G_i$ est commutatif, et que l’application $x, y \mapsto (x, y)$ définit par passage au quotient une application $\mathbf{Z}$-bilinéaire de $G_i \times G_j$ dans $G_{i+j}$.

b) On pose $\mathrm{gr}(G) = \sum_{i=1}^\infty G_i$, et on prolonge par linéarité les applications $G_i \times G_j \to G_{i+j}$ définies dans a) en une application $\mathbf{Z}$-bilinéaire de $\mathrm{gr}(G) \times \mathrm{gr}(G)$ dans $\mathrm{gr}(G)$. Montrer que $\mathrm{gr}(G)$ est une $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie pour cette application (pour vérifier l’identité de Jacobi, utiliser la formule suivante:

où $x^y$ désigne $yxy^{-1}$, et où $e$ désigne l’élément neutre de $G$).

c) On suppose qu’il existe $n$ tel que $H_n = \{ e \}$. Montrer que $\mathrm{gr}(G)$ est une $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie nilpotente.