Bài tập 27, § 4

Cho $A$ là một đại số kết hợp với phần tử đơn vị 1 và cho $A_0 = A \supset A_1 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots$ là một dãy giảm các iđêan hai phía của $A$ sao cho $A_i, A_j \subset A_{i+j}$. Cho $G$ là một nhóm với phần tử đơn vị $e$ và cho $f : G \to A$ là một ánh xạ sao cho $f(e) = 1,\ f(xy) = f(x) f(y)$ và $1 - f(x) \in A_1$ với mọi $x \in G$. Gọi $H_n$ là tập hợp các $x \in G$ sao cho $1 - f(x) \in A_n$. Chứng minh rằng các $H_n$ thỏa mãn các điều kiện của Bài tập 26. Chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto f(x) - 1$ xác định, khi lấy các thương, một đơn cấu của các đại số Lie $\operatorname{gr}(G)$ vào đại số Lie liên kết với vành phân bậc $\operatorname{gr}(A) = \sum A_n / A_{n+1}$ (xem Đại số giao hoán, Chương III).