Exercice 27, § 4

Soit $A$ une algèbre associative à élément unité 1, et soit $A_0 = A \supset A_1 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots$ une suite décroissante d’idéaux bilatères de $A$ tels que $A_i . A_j \subset A_{i+j}$. Soit $G$ un groupe d’élément neutre $e$, et soit $f : G \to A$ une application telle que $f(e) = 1, f(xy) = f(x) . f(y)$, et $1 - f(x) \in A_1$ pour tout $x \in G$. On note $H_n$ l’ensemble des $x \in G$ tels que $1 - f(x) \in A_n$. Montrer que les $H_n$ vérifient les conditions de l’exerc. 26. Montrer que l’application $x \mapsto f(x) - 1$ définit par passage au quotient un homomorphisme injectif de l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G)$ dans l’algèbre de Lie associée à l’anneau gradué $\mathrm{gr}(A) = \sum A_n / A_{n+1}$ (cf. Alg. comm., chap. III).