Bài tập 9, § 4

(a) Kiểm tra rằng các bảng phép nhân sau định nghĩa hai đại số Lie lũy linh $g_3, g_4$ có chiều lần lượt là 3 và 4:

(b) Chứng minh rằng $g_3$ đẳng cấu với $\mathfrak{n}(3, K)$ và cũng với $\mathfrak{sl}(2, K)$ nếu $K$ có đặc số 2.

(c) Cho $g_1$ là đại số Lie duy nhất có chiều 1. Chứng minh rằng các đại số Lie lũy linh có chiều $\leq 4$ được cho bởi bảng sau:

(Áp dụng Bài tập 7 (c). Nếu $g$ là lũy linh và có chiều 3 và $\dim \mathscr{D} g = 1$, nhận xét rằng $\mathscr{D} g$ được chứa trong tâm của $g$ (Bài tập 3 (a)), do đó $g = g_3$. Nếu $\dim g = 4$, $\dim \mathscr{D}g = 1$, nhận xét rằng móc trên $g$ định nghĩa một dạng song tuyến tính phản xứng trên $g / \mathscr{D}g$, dạng này nhất thiết suy biến và do đó tồn tại một đại số con $h$ của $g$ được chứa trong tâm của $g$ với $\dim h = 1$, $h \cap \mathscr{D}g = \{0\}$, do đó $g = h \times g_3$. Nếu $\dim g = 4$, $\dim \mathscr{D}g = 2$, $\mathscr{D}g$ là giao hoán; áp dụng Định lý 1 cho các hạn chế lên $\mathscr{D}g$ của các $\mathrm{ad}_g x$ ($x \in g$), chứng minh rằng tồn tại một iđêan giao hoán $h$ của $g$ với $h \supset \mathscr{D}g$, $\dim h = 3$; cho $x \in g$, $x \notin h$; chọn một cơ sở của $h$ sao cho hạn chế của $\mathrm{ad}_g x$ lên $h$ có một ma trận Jordan đối với cơ sở này; khi đó $g = g_4$.)