Exercice 9, § 4

a) Vérifier que les tables de multiplication suivantes définissent deux algèbres de Lie nilpotentes $g_3, g_4$ de dimensions 3 et 4 :

b) Montrer que $g_3$ est isomorphe à $\mathfrak{n}(3, K)$, et aussi à $\mathfrak{sl}(2, K)$ si $K$ est de caractéristique 2.

c) Soit $g_1$ l’unique algèbre de Lie de dimension 1. Montrer que les algèbres de Lie nilpotentes de dimension $\leq 4$ sont fournies par le tableau suivant : dimension 1 : $g_1$; dimension 2 : $(g_1)^2$; dimension 3 : $(g_1)^3, g_3$; dimension 4 : $(g_1)^4, g_3 \times g_1, g_4$.

(Utiliser l’exerc. 7 c). Si $g$ est nilpotente de dimension 3 et $\dim \mathscr{O}g = 1$, observer que $\mathscr{O}g$ est contenu dans le centre de $g$ (exerc. 3a)), d’où $g = g_3$. Si $\dim g = 4$, $\dim \mathscr{O}g = 1$, observer que le crochet dans $g$ définit une forme bilinéaire alternée sur $g/\mathscr{O}g$, laquelle est nécessairement dégénérée, donc qu’il existe une sous-algèbre $h$ de $g$ contenue dans le centre de $g$, avec $\dim h = 1, h \cap \mathscr{O}g = \{0\}$, d’où $g = h \times g_3$. Si $\dim g = 4$, $\dim \mathscr{O}g = 2$, $\mathscr{O}g$ est commutative ; appliquant le th. 1 aux restrictions à $\mathscr{O}g$ des $\mathrm{ad}_g x$ ($x \in g$), montrer qu’il existe un idéal commutatif $h$ de $g$ avec $h \supset \mathscr{O}g$, $\dim h = 3$; soit $x \in g, x \notin h$; choisir une base de $h$ telle que la restriction de $\mathrm{ad}_g x$ à $h$ ait par rapport à cette base une matrice de Jordan ; alors $g = g_4$.)