Bài tập 11, § 6

(a) Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó, s là một đại số con Levi của g và m là một iđêan của g chứa r. Tồn tại một iđêan t của s, bổ sung cho m trong g, sao cho [m, t] ⊂ r. (b) Cho g là một đại số Lie và a là một đại số con dưới bất biến của g. Khi đó tồn tại một chuỗi hợp thành g = g_0 ⊃ g_1 ⊃ ... ⊃ g_k = a sao cho g_i là tổng trực tiếp của g_{i+1} và một đại số con h_i, trong đó h_i hoặc là 1-chiều và được chứa trong căn r(g_i) của g_i, hoặc là đơn và sao cho [h_i, g_{i+1}] ⊂ r(g_{i+1}). (Rút gọn về trường hợp a là một iđêan của g. Đặt g' = g/a và r' là căn của g'. Đại số g'/r' là tích của các iđêan đơn của nó a_1, a_2, ..., a_c.

Lấy một chuỗi hợp thành của $g'$ gồm một chuỗi hợp thành của $r'$ mà các thương kế tiếp của nó là 1-chiều và các ảnh ngược của các iđêan $a_1, a_1 \times a_2, \ldots, a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_c$. Sau đó lấy ảnh ngược trong $g$ của chuỗi hợp thành này.)