Exercice 11, § 6

a) Soient g une algèbre de Lie, r son radical, s une sous-algèbre de Levi de g, m un idéal de g contenant r. Il existe un idéal t de s, supplémentaire de m dans g, tel que $[m, t] \subset r$.

b) Soient g une algèbre de Lie, a une sous-algèbre sous-invariante de g. Alors il existe une suite de composition $g = g_0 \supset g_1 \supset \cdots \supset g_k = a$ telle que $g_i$ soit somme directe de $g_{i+1}$ et d’une sous-algèbre $h_i$ qui est ou bien de dimension 1 et contenue dans le radical $r(g_i)$ de $g_i$, ou bien simple et telle que $[h_i, g_{i+1}] \subset r(g_{i+1})$. (Se ramener au cas où a est un idéal de g. Soient $g' = g/a$ et $r'$ le radical de $g'$. L’algèbre $g'/r'$ est produit de ses idéaux simples $a_1, a_2, \ldots, a_c$. Prendre une suite de composition de $g'$ formée d’une suite de composition de $r'$ dont les quotients successifs sont de dimension 1, et des images réciproques des idéaux $a_1, a_1 \times a_2, \ldots, a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_c$. Puis prendre l’image réciproque dans g de cette suite de composition.)