Bài tập 15, § 6

(a) Cho $X, Y$ là hai ma trận của $\mathfrak{gl}(n, K)$. Chứng minh rằng, nếu $[X, Y] = X$, thì $X$ là lũy linh. (Với mọi đa thức $f \in K[T]$, chú ý rằng

(b) Cho $g$ là một đại số Lie và $h, x$ là hai phần tử của $g$ sao cho $[h, x] = x$ và tồn tại $z \in g$ với $[x, z] = h$. Chứng minh rằng tồn tại $y \in g$ sao cho $[x, y] = h$ và $[h, y] = -y$. (Trước hết chú ý rằng $[z, h] + z$ thuộc về bộ giao hoán $n$ của $x$ trong $g$. Sau đó chứng minh rằng $n$ là ổn định dưới $\mathrm{ad}\ h$ và rằng hạn chế xuống $n$ của $I - \mathrm{ad}\ h$ là song ánh; để làm điều này, chú ý rằng $\mathrm{ad}\ x$ là lũy linh, sử dụng (a), và chứng minh rằng, nếu $g_i$ là ảnh của $g$ dưới $(\mathrm{ad}\ x)^i$, thì $I - \mathrm{ad}\ h$ cho, khi lấy thương, một song ánh của $(n \cap g_{i-1})/(n \cap g_i)$; để dùng điều này hãy sử dụng quan hệ (c) Cho $g$ là một đại số con của $\mathfrak{gl}(n, K)$; giả sử rằng, với mọi ma trận lũy linh $X \in g$, tồn tại hai ma trận khác $H, Y$ trong $g$ sao cho $[H, X] = X,\ [H, Y] = -Y,\ [X, Y] = H$. Cho $b$ là một đại số con của $g$ sao cho tồn tại một không gian con $m$ phụ trợ cho $h$ trong $g$ và sao cho $[h, m] \subset m$. Chứng minh rằng $h$ có cùng tính chất như $g$ đối với tất cả các ma trận lũy linh của nó (sử dụng (b)).