Exercice 15, § 6

a) Soient X, Y deux matrices de gl(n, K). Montrer que, si

[X, Y] = X, X est nilpotente. (Pour tout polynôme $f \in K[T]$, observer que $[f(X), Y] = Xf'(X)$.)

b) Soient $g$ une algèbre de Lie, $h, x$ deux éléments de $g$ tels que $[h, x] = x$ et qu’il existe $z \in g$ avec $[x, z] = h$. Montrer qu’il existe $y \in g$ tel que $[x, y] = h$ et $[h, y] = -y$. (Observer d’abord que $[z, h] + z$ appartient au commutant $\mathfrak{n}$ de $x$ dans $g$. Montrer ensuite que $\mathfrak{n}$ est stable pour ad $h$, et que la restriction à $\mathfrak{n}$ de $I - \mathrm{ad}\, h$ est bijective ; pour cela, on remarquera que ad $x$ est nilpotent en utilisant $a$), et on prouvera que si $g_i$ est l’image de $g$ par $(\mathrm{ad}\, x)^i$, $I - \mathrm{ad}\, h$ donne par passage aux quotients une bijection de $(\mathfrak{n} \cap g_{i-1})/(\mathfrak{n} \cap g_i)$; on utilisera pour cela la relation

c) Soit $g$ une sous-algèbre de $\mathrm{gl}(n, K)$; on suppose que, pour toute matrice nilpotente $X \in g$, il existe deux autres matrices $H, Y$ dans $g$ telles que $[H, X] = X,\ [H, Y] = -Y,\ [X, Y] = H$. Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de $g$ telle qu’il existe un sous-espace $m$ supplémentaire de $\mathfrak{h}$ dans $g$ et tel que $[\mathfrak{h}, m] \subset m$. Montrer que $\mathfrak{h}$ possède la même propriété que $g$ pour toutes ses matrices nilpotentes (utiliser b)).