Bài tập 19, § 6

Cho $g$ là một đại số Lie khả quy, $U$ là đại số bao quanh của nó, $Z$ là tâm của $U$ và $V$ là không gian con của $U$ sinh bởi các phần tử có dạng $uv - vu$ ($u \in U, v \in U$).

(a) $U$ là tổng trực tiếp của $Z$ và $V$. (Áp dụng Mệnh đề 6 của § 3 cho biểu diễn $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$ của $g$ trên $U$, nhận thấy rằng, trong phân tích $U = \sum_n U^n$ của § 2, no. 7, Hệ quả 4 của Định lý 1, các $U^n$ là ổn định đối với biểu diễn này.)

(b) Cho $u \mapsto u^h$ là phép chiếu của $U$ lên $Z$ song song với $V$. Chứng minh rằng $(uv)^h = (vu)^h, (zu)^h = zu^h$ với mọi $u \in U, v \in U, z \in Z$.

(c) Cho R là một iđêan hai phía của U. Chứng minh rằng $R = (R \cap Z) + (R \cap V)$. (Để chứng minh rằng thành phần trong V của một phần tử r của R thuộc về R, hãy rút gọn về trường hợp K đóng đại số; nhận thấy rằng R là ổn định đối với biểu diễn $\varphi$ của U trên U mở rộng $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$; phân tích r thành các thành phần của nó trong các $U^n$; cuối cùng, áp dụng Hệ quả 2 của Định lý 1 của Đại số, Chương VIII, § 4, no. 2 cho hạn chế của $\varphi$ vào $U^n$.)

(d) Cho $R'$ là một iđêan của Z. Cho $R_1$ là iđêan hai phía của U sinh bởi $R'$. Chứng minh rằng $R_1 \cap Z = R'$. (Sử dụng (b).)