Exercice 19, § 6

Soient $g$ une algèbre de Lie réductive, U son algèbre enveloppante, Z le centre de U, et V le sous-espace de U engendré par les éléments de la forme $uv - vu$ ($u \in U, v \in U$).

a) U est somme directe de Z et V. (Appliquer la prop. 6 du § 3 à la représentation $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$ de g dans U, en observant que, dans la décomposition $U = \sum_{n} U^n$ du § 2, no 7, cor. 4 du th. 1, les $U^n$ sont stables par cette représentation.)

b) Soit $u \mapsto u^\sharp$ le projecteur de U sur Z parallèlement à V. Montrer que $(uv)^\sharp = (vu)^\sharp, (zu)^\sharp = zu^\sharp$ quels que soient $u \in U, v \in U, z \in Z$.

c) Soit R un idéal bilatère de U. Montrer que $R = (R \cap Z) + (R \cap V)$. (Pour montrer que la composante dans V d’un élément r de R appartient à R, se ramener au cas où K est algébriquement clos ; observer que R est stable par la représentation $\rho$ de U dans U prolongeant $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$; décomposer r suivant les $U^n$; enfin, appliquer à la restriction de $\rho$ à $U^n$ le cor. 2 du th. 1 d’Alg., chap. VIII, § 4, no 2.)

d) Soit $R'$ un idéal de Z. Soit $R_1$ l’idéal bilatère de U engendré par $R'$. Montrer que $R_1 \cap Z = R'$. (Utiliser b.).